CHAPITRE VIII. — SURFACES DU SECOND DEGRE

On peut en général disposer de «i. a^ ... «„ de manière à satisfaire aux équations

qui peuvent aussi s'écrire

(l bis) a,iai H- 01202 .- 4- «ina« + ^oi == o, ...

supposons d'abord les équations (i) ou (i bis) compatibles, on en déduira un et un seul système de valeurs des a, et Téquation de la surface prendra la forme

alors à tout point 5i ... $« de la surface, correspondra un autre point — 5i. — Î2 ..• — \n également situé sur la surface, en sorte que la nouvelle origine partagera en deux parties égales toute corde qui le traversera. Le point ai, a.i ... a„ est ce que Ton appelle un centre et Ton peut dire qu'en* général, les surfaces du second degré ont un centre et un seul.

Quand le déterminant

A = 2 it: aH«22 .•• «lin

sera nul, on ne pourra plus en général satisfaire aux équations (i) ou (1 bis) et on ne pourra plus en général ramener Téquation de la surface à la forme simple (2). Si enfin les équations (i) sont indéterminées, il y aura une infinité de centres situées sur des variétés du premier degré et l'équation de la surface pourra d'une infinité de manières se ramener à la forme ('j).

2. Diamétraux. — Conservons les notations du § précédent et cherchons le heu des milieux des cordes parallèles à une direction donnée par ses cosinus directeurs vi ... V;» soient

(i) a^i = |ii -h Vj/, ... x„ = fi„-+- v„<

les équations d'une droite parallèle à la direction vj ... v„ ; pour avoir ses intersections avec la surface F = o, on éliminera les x entre F =r o et (i) ce qui donnera

F (Fi -^ ^'i^ ^2 + V2/, ...) = o