CHAPITRE II. LES ELEMENTS
multiplions la première par x^ -h Ji» la seconde par x^ -+- y,, etc., et, ajoutons, nous aurons
ou
donc en résolvant les équations (5), par rapport aux x ou par rapport aux y, on obtiendra une substitution orthogonale.
On obtiendrait encore une substitution orthogonale en résolvant les équations :
(x^±y^T= c^^ (x^ qz y,) -h ... c^n K =p y„), (5 bis) ']
( Xn±:yn = Cni {x^ ip y^) -h ... c„n {x„ ZjZ y„). ou Ton a toujours
Cfj = C^-j, Cjj =
la démonstration est la même, il suffit de multiplier la première formule par a?j qzji, la seconde par x^z^y^, etc., et d'ajouter pour trouver ;
Mais il y a une différence capitale entre les formules (5) et (5 bis), les premières ont pour déterminant i, les autres peuvent avoir pour déterminant — i, quand on les résout par rapport aux y. En effet, en faisant varier les c, d'une manière continue, pour les faire tendre vers zéro, les premières conduisent aux formules :
X^ — J, =0. .Tj — 72 =0, ...
ou a-j = yi X2, = 7j ... ap„ == j„, les autres conduisent aux formules x^ = d- y^, x^ = ± y^, dans le premier cas on a des formules qui, résolues par rapport aux y auront pour déterminant I, les autres fourniront des formules de déterminant ±: i, à volonté.
Les formules (5) et (5 bis), renferment 'l^'^J- paramètres
comme les formules (i) qui en renferment ai^ liés par '^-A^?^ ^
relations ; elles fournissent donc les substitutions orthogonales les
lO h/L GEOMETRIE ANALYTIQUE GENERALE
plus générales. Observons enfin que ces formules sont très remarquables en ce sens que, résolues par rapport aux y, les coefficients des X sont rationnels en c^y, et à coffîcients rationnels* 7*" Enfin nous constaterons que si
Z„ = Onl Ji ~i~ ••• ^nn Jni
est une substitution orthogonale et si Ton élimine les y entre (i), et (6), on aura ;
x^ — C|| Zj — j— ••. c^fiZfgt eic, et ces formules définiront encore une substitution orthogonale, car on aura
a;2, -I- a:% --h ... =^2^ -^y^i -h. ... = z% -f- z% -+- ... 3. Les déplacements. — Si l'on pose
.(l) ^1 ^«i'I (j,i J2 ... J«), ...a^« = ?« (jl ... Jn),
le point iCi ... .r^ se transformera en un point j^i ... j„, en posant de même
un second point x\..» se transformera en j'^ ... j'„. Une figure F formée de points x^, ,,, ,x'i ... se transformera en un autre G, formé d'autres points y^ ,..,y\,,.
On dit alors que l'on obtient G en déplaçant F, sans changer sa forme.
Il y a donc une infinité de déplacements sans changement de forme. La géométrie est l'étude des déplacements sans changement de forme.
Il y a une infinité de géométries, caractérisées par les fonctions (p qui définissent pour chacune d'elles les déplacements sans changement de forme.
La géométrie Euclidienne, pour nous la plus simple, esc celle pour laquelle les déplacements sans changement de forme sont définis par les formules
i^l = «1 H- ûii^i -H ... H- flinym
a;« = «n 4- an^y^ H- ... + annyn*
