CHAPITRE VIII. SIRPACKS DU SECOND DhXRE
et ainsi de suite, les équations (5), (6), (7), .,. peuvent s'écrire :
en posant
£vi
^Yi
eji éliminant alors les v entre (8), on a l'équation des plans principaux
fa;,
fo-, •
ft/j
4. Propriétés des plans principaux. — L'équation (4) est toujours du degré /i, car le coefficient de .ç** est l'unilé, mais elle peut avoir des racines multiples, ce qui peut faire disparaître des directions principales, et par suite, des plans principaux. En second lieu les équations (3) peuvent être indéterminées ; pour certaines valeurs de 5, certaines directions principales peuvent donc être indéterminées. Enfin certaines directions principales peuvent être asymptotiques et le plan principal correspondant peut être rejeté à l'infini ou être indéterminé, mais cela ne pourra avoir lieu que si le déterminant
Il ••• ^in
dernier terme de l'équation en s ou discriminant de /est nul.
Supposons les équations (3) indéterminées, je dis que l'équation S = G aura une racine multiple, et réciproquement.
En effet les équations (5) se réduisent ordinairement an — i distinctes, puisque leur déterminant est nul et alors elles donnent en général les rapports Vi : y* : V3 ... sans ambiguïté.
lOO LA GËOMKTRIE ANALYTIQUE GENERALE
Si elles se réduisent an — 2 distincts, les mineurs
ôS ôS
(OU Ton écrit au lieu de J
sont nuls et Ton a
dS ^ àS dxij ^
as ôotjy as
ôS
aT = ^^
si elles se réduisent an — 3 distinctes, on a et
ou
d*S ^ ^ ô«S d^ij dni ds* à^ijboiifi ds ds
S? =^ o, etc.
Donc, si les équations (5) se réduisent an — 2,n — 3,n — 4, l'équation S = o aura une racine double, triple, quadruple, etc. Réciproquement on a en sapposanl les olij réels,
= CI- ('11 — «)-+- rr- «i2 H- ... r-- «1».
ôS ôS , , S5
et en différentianl par rapport à s
(o) ^ / ôS \' / aS \' . , ôS
CIIAPITHE VIII.. SURFACES DU SECOND DEGRE lOi
multiplions la première de ces équations par —, la seconde par ~ , la suivante par — — et ajoutons en observant que
nous aurons
ce qui montre que si S == o, S' = o, on aura
Or en supposant les a^^ réels (ce que nous ferons à Tavenir) on a
hS ôS
et on verrait de même que
ô«ii ^' ôï,2 °*"'
ce
Si S = O a une racine triple, en vertu de (lo), on voit que
:^— = o a une racine double ; car S' ;^ — et S (— -) ont un facteur
du 3* degré, donc en ôlant un facteur du second degré dans
£ (— j , les (r— ) seront encore nuls après la suppression de <
facteur.
Or on a
S ^^S — i^ iï§. ^S dS ,
le second membre a un facteur quadruple qui est triple pour S, donc
il appartient a . , et ainsi de suite.
A deux racines distinctes de Véqaation S = o, correspondent deux directions Vi, V2 ... 'Jn principales rectangulaires.
En effet supposons que pour s ^= s' on ait Vi = v'i ... et pour
102 LA CEOMETRIE ANALYTIQrE GENERALE
5 ==: *' on ait Vi = v'\ ... les équations (2) donneront
OV i . ÔV 2
on en déduit
or le premier membre est nul ; donc et si s est différent de /
v',v\ -h vVî ... =0,
ce qui prouve que les directions v\. v'2 et v"j, v'a ... sont rectangulaires c. q. f. d.
Il en résulte que si les a/> sont réels, F équation S = o a toutes ses racines réelles.
En effet si elle avait des racines imaginaires, elle en aurait au moins deux s' et / conjugués, et en supposant 2v/* = i, Sv/'^ = i, y\ et v^i seraient des imaginaires conjugués v'2 et v\ aussi, et réquation v^v", h- vVA .•• = o exprimerait que la somme des carrés des modules de v'i, v'^ ... est nulle, ce qui est absurde, puisque
Posons maintenant
( ^1 = v',Xi -+- v^Xa -h ..., (10) 1 œ^ = v'^Xi -4- ^\X^ H- ...,
les v' désignant les valeurs des v pour s = s', ... s', s" ,,. désignant les racines de S =0. Nous aurons
/(^i, ^i ...) = /'(v^Xl -+. v'^.x, ..., v\Xi 4- v%x2 -+- )
le coefficient de X^i dans le second membre sera
