CHAPITRE VIII. — * SURFACES DU SECOND DEGRE lo

OU en vertu de (a) et de 2v/^r= i,

Le coefficient de X% serait /, etc. Le coefficient de XtX^ sera

^'' iJ\ + ''* ^Ji - = "*'(^''^'' + ''*''* -r °'

etc., donc enfin on aura

/(xt, X, ...) = «'X«i -+- «'X% -4- ...

et / se réduira à une somme de n carrés au plus, je dis au plus, parce que S = o pourra avoir des racines nulles.

Ce que nous venons de dire semble en défaut quand Téquation S = o a des racines égales, mais si alors par exemple S = o a une racine double, une direction principal V| ... V2 ... loin de disparaître, se trouve remplacée par une infinité d'autres, parmi lesquelles on en choisira deux qui soient rectangulaires. Une observation analogue pourrait être faite si S - - o avait une racine triple ou quadruple.

Si réquation S = o a des racines multiples, il y aura une infinité de systèmes de directions v^, v.2 ... v^ ... permettant de remplacer / par une somme de carrés.

Ce que nous venons de dire suppose les a^y réels, cependant une grande partie de nos conclusions s'appliqueraient encore si les a,y étaient imaginaires, mais si Téquatioh S = o avait une racine multiple, on ne pourrait plus en conclure qu'il existe n directions principales rectangulaires^ de sorte que nos simplifications ne pourraient plus s'appliquer à certaines surfaces singulières h coefficients imaginaires.

5. Décomposition en carrés, classification des surlaces du second degré. — Si dans l'équation du second degré

F {x\. Xi •.' x„) = o

on effectue la substitution (lo), la partie homogène prend, comme on Ta vu, la forme s'X^^ -+- «"X^ ... et alors l'équation précédente devient

s'X\ -h s'X^ ... + aAjX^ 4- ... -h aAnX„ -+- 13 = o

Jo4 LA GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE GÉNÉRALE

les A elles B désignant des constantes. Si Ton fait encore

Xl = Si -t- ^l* Xj -+- Ç2 -h «j, ...

eMe devient de nouveau

s\\ H- sT -h ... H- aîi («'a, + Aj) ~h ...

-+- sV| H- sV, ... H- 2Aiai -h aAja^ ...-+- B = o

si s',s" ... sont tous différents de o. On peut disposer de ai,a^... de manière à annuler les coefficients de ç^îj..» En général si s' n'est pas nul, on pourra poser

«'ai -+- Al := o

on en déiuira la valeur à donner à ai pour faire disparaître ^i.

1° Si réquation S = on'a pas de racines nulles, une transformation de coordonnées ramène Téquation de la surface à la forme

H désignant une constante.

2** Si s' =so on ne peut plus faire disparaître le terme en Ji^ mais le terme en 5*1 a disparu, et Ton peut essayer de faire disparaître le terme constant

«V, H- «Vi ... 4- aAiflj -+- aAjfl, 4- ... -h B, qui dans Thypothèse s' = o se réduit a

s"a\ ... -h 3Aiai ... 4- B

et qui pourra être annulé si Ai n'est pas nul. Si Ai est nul, nous rentrons dans le cas examiné tout à l'heure, il en résulte que si quelque racine de l'équation S = o est nulle, l'équation de la surface peut être ramenée à la forme

sVi -f- ASS ... 4- JhU 4- a<â$? ... = o

ou les £ qui entrent au premier degré, n'entrent pas au second et vice versa.

J'appellerai (ce qui n'est pas tout à fait conforme à l'usage] surface de première classe, celles dont l'équation peut être ramenée à la forme

qui ne contient pas de termes du premier degré en Çi,^^ ....