CHAPITRE VIII. — SURFACES DU SECOND DEGRE lo

Parmi ces surfaces, il convient de distinguer

i** Celles pour lesquelles un certain nombre de carrés manquent, nous les appellerons surfaces singulières de première, de seconde espèce, suivant qu'il manquera i, 2... carrés, ces surfaces singulières sont des cylindres, car leur équation ne dépend que don — i , n — 2, ,.. fonctions linéaires. Quand H = o, la surface a pour premier membre une fonction homogène de fonctions linéaires, e'est un cône. Nous remarquons les deux formes singulières

La première représente deux plans, et la seconde, deux plans parallèles, confondus si H = o,

2^ Si la surface est réductible k une forme qui contient des termes du premier degré, elle sera de seconde classe, elle représentera un cylindre dans un grand nombre de cas ; il suffit pour cela qu'une des quantités s ou ^soit nulle, si tous les s étaient nuls (ce qui ne se présentera pas), on aurait un plan. Nous ne parlons pas du cas où les t seraient tous nuls, il a été examiné.

De cette discussion, il résulte, que l équation du second degré peut représenter des cônes, des cylindres, des plans.

i* Pour qu'une équation du second degré représente un cône, il faut que dans son équation réduite H = o. Or H est le discriminant ou hessien de la forme réduite, si Ton observe que dans un changement de variable, le hessien d'une fonction après le changement se trouve multiplié par le carré du déterminant de la substitution, nous voyons que, comme nous n'avons effectué, que des substitutions orthogonales de déterminant =i= i, H est le discriminant de la forme primitive, comme de la forme réduite, donc pour que t équation du 2^ degré représente un cône, il faut et il suffit que son discriminant soit nul.

Si oijûj... sont les coordonnées du centre de la surface F = o, quand on a rapporté la surface à son centre, son équation devient / + F (ai. a^...) = o et H = F{a,,,..) ; or

„, X ôF ôF

2F(«,...a„)^~ai...+^-^-a:o,

Xq désignant une variable fictive égale à i et rendant F homogène.

io6 LA GÉOMÉTRIE ANALTTIQLE GÉNÉRALE

mais — ... étant nuls, on a

formule souvent commode pour calculer H.

Pour que la surface soit un cylindre, il faut qu'une racine de réquation S = o soit nulle, ce qui exige que le discriminant A de la partie homogène /de F soit nulle, mais cela ne suffit pas, parce que si A == o, la surface peut aussi être de seconde classe, il faut que F ne dépende que de n — i variables, et cela suffit, or rendons F homogène, formons l'équation en s relative à cette fonction rendue homogène, elle sera du degré n + ly et la forme réduite de F ne devra contenir que n carrés ; le discriminant de F devra donc être nul, ce discriminant est H, donc H =o, A = o sont les conditions nécessaires et suffisantes pour que F = o représente un cylindre.

Si l'on change de notation et si l'on pose

^ijXiXj

la variable ar^ rendant F homogène, se trouvant parmi les x^, on aura H = S dz «„ ... «^o et A = g^ . Or

^ ôH ôH / 1