CHAPITRE VIII. SURFACES nU SECOND DEGRK

Pour que F=o représente deux plans confondus, il faudra que F soit un carré, donc H et tous ses mineurs jusqu'à ceux du second degré devront être nuls.

Pour qu'une surface du second degré F = o contienne une droite

x^ = x\ + Ojp, x^ = x\ 4- a^o ....

il faut que

F(x', -h a,p, x'^ -4- Oj p ...) = o, ou que

F(^,. X', ...) -+- p (a. ^ + «, ^^ ... ) + p7(a, ... a„) = o. ce qui exige que

si le point x\ ... x'n est sur la surface, les deux dernières équations fourniront des valeurs pour les a. Il y a donc une infinité de droites passant par un point de la surface, comme en éliminant les a on a

(^1 — ^\) ^^ - [Xn — X'n] ^ = o. f{x, — X\ ...) =1 O.

on reconnaît que les droites sont à l'intersection : i* du plan tangent en x'i, x\ ... 2* du cône/(a?j — x\, ...) = o et de la surface. Il n'y a que deux droites passant en x^^, x'^.,.

6. Remarques. — Nous venons de voir que la fonction homogène/= oiijXiXj à n variables pouvait être décomposée en n carrés, •cette décomposition peut évidemment se faire d'une infinité de manières, il y a plus, la fonction non homogène F peut se décomposer d'une infinité de manières en n-h i carrés et ces deux théorèmes n'en font qu'un si, supposant Xq= i,

]o8 LA GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE GÉkÉRALE

1° La décomposition de "V difCiXj en n carrés peut se faire d'une infinité de manières, puisque si l'on pose

ridentification des deux membres fournira — ^ équations

entre les n^ quantités aij qui seront par suite indéterminées ;

2* On peut effectuer la décomposition en carrés comme il suit, sans qu'il soit nécessaire de résoudre une équation d'ordre supérieur ; on ordonnera /suivant les puissances de x^y ce qui donnera

/==Ax2 -4-3 6x4- G

. / , aB C\

. Vf B\2 G BH