CHAPITRE VIII. SURFACES DU SECOND DEGRE
ne contiendra plus que x^, x^ ... x»; c'est d'ailleurs un polynôme du second degré qui, en général, contiendra des termes en a?*,, a?*^ . . . que l'on décomposera comme plus haut, d'ailleurs si l'on pose
*11^2 ■+"••• ^in^n = X.
«jjOCj -f- ... aî„x„ = Y,
on aura
/Xh-Y\» /X — Y\«
XY
et Ton voit que l'on pourra toujours décomposer/ en n carrés positifs^ négatifs ou nuls, en appelant ainsi des carrés précédés de coefficients positifs, négatifs ou nuls.
De quelque manière qu'on s'y prenne pour décomposer f en n carrés, on trouve toujours le même nombre de carrés positifs, négatifs ou nuls.
Pour que le théorème soit exact, il faut que tous les carrés soient indépendants, c'est-à-dire que la racine de l'un d'eux ne soit pas fonction linéaire des racines des autres.
Supposons en eflfet que X, ... X^ et Yj, ... Y, étant des fonctions linéaires de a?,, a?2 ... Xn on puisse avoir (1) A^X^ ... -^ A^X% = B J,2 ^ ... B,Y%
qr > p ; les X étant indépendants ainsi que les Y, nous pourrons exprimer a?, ... x^ en fonction des X et porter leurs valeurs dans les Y qui deviendront fonctions de Xi ,.. X^ x^^i Xn, en différentiant alors par rapport à a^^^+i, on trouvera une relation linéaire entre les Y"^ ce qui est contraire à nos hypothèses, donc p = q.
Supposons alors Aj ... Âr positifs, Bj^ B^ ... B« négatifs, les autres A négatifs, les autres B positifs, s'il n'y a pas autant d'A que de B positifs, alors r -f- 5 ne sera pas égal à /) et on peut supposer r -h s <ip. Posons alors
(3) X^ = X, ... = Xr = Y, = ... = Y, = o,
et tirons a?| ... Xr 4. , de là pour les porter dans (i), celte formule sera absurde, le premier membre étant négatif, le second positif, à moins que
Y, 1.1 = 0, ... Yy =
1 iO LA GEOMETRIE ANALYTIQUE GENERALE
OU que
Xp-i-i = O ... Xp == O,
ces équations seraient des conséquences de (2), il y aurait les relations entre les X ou entre les Y.
Ces remarques permettent dé compléter ce que nous avons dit plus haut au sujet des surfaces singulières. Pour que/ soit un carre il faut et il suffit qu'après avoir fait la décomposition par la méthode précédente, n — i carrés soient nuls, nous pouvons choisir les derniers, qui renferment : le dernier un coefficient, Tavantdernier deux, ctc,, donc pour annuler n — i carrés il faudra annuler I 4-2 ... -^ n — I ou ^ coefficients, ce qui donne
— ^^ conditions distinctes pour qu'un polynôme homogène à
n variables ou non homogène h n — i variables soit un carré. Pour que / soit un produit de 2 facteurs ou une somme de
2 carrés, il faut i -f- 3 ... -4- n — i = -^ conditions,
elc,, etc.
7. Plans tangents, plans polaires. — Considérons la surface du second degré
fz= i:%ijX;Xj + 2 (aoiO-, ... -f- ao»^«) + «00 = o
dans l'espace à n dimensions, le plan tangent a pour équation
en posant
Nous introduirons une variable fictive a?o = i et alors nous écrirons
i = nj = n i = oj = o
l'cquatlon (i) prendra alors successivement les formes
