CHAPITRE YlJi. SURFACES DU SECOND DEGRE | 1 t

et en vertu du théorème des fonctions homogènes, comme

et comme x^ = Xq = i, on aura en ajoutant ces équations

(2) Xo/o + XJ, ... -h X„/. = 0.

Si l'on demande de mener par le point zq, z^ ... z„ un plan langent à la surface, Téqualion précédente devra avoir lieu pour Xq = Zq, X| = z, ... et le point de cohlact sera déterminé par Téqnation

d'ailleurs

Il y aura donc une infinité de solutions situées à l'intersection de la surface et du plan représenté par (2) dont on peut aussi écrire l'équation

Le plan (2) est ce que Ton appelle le plan polaire du point z^. 2, ... 2/„ et ce point est dit le pôle du plan (2).

Il est intéressant de chercher les points qui ont le même plan polaire par rapport à deux surfaces du second degré

Pour cela il faut identifier les deux équations

dans lesquelles on peut supposer que les z sont les coordonnées courantes et Xq, x^ ... les coordonnées d'un pôle, alors on a pour déterminer ce pôle (ou ces pôles) les équations

i/o Ol. iJn*

ou en posant ces rapports égaux à 1

LA GeOMETUE ASALTTIQrE GENERALE

oa en supposant

on en tire

^Plt ••• *l" ''?!«

Equation du degré n + i d'où Ton lire n+i valeurs qui, portées dans i) donnent n+ i équations qui se réduisent à /i, et font connaître n -h i pôles communs aux surfaces /= 0,^ = 0.

Nous ferons observer tout d'abord que si l'un des discriminants S ± aoo"ii •••» ^ — P*oPii -•• ^** '*"'• ^^ surface correspondante est un cône et le pôle correspondant à la racine nulle est le centre de Tautre surface.

Si les équations (i) ou (i)' sont indéterminées c'est-à-dire si les mineurs de A sont nuls, on a

dx

ôA

et l'équation en X a une racine double ; elle aurait une racine triple si tous les mineurs du second ordre de X étaient nuls etc., on a en

appelant x^, x. ... les mineurs — ><. , ..•

(X = x, («,, — Xp^,) ... -4- a-„(a^„ — 1%^) . ] o = Xo(a,o — *^Pio) '" -h x„ (aj„ — Xj») ,

et en différentiant par rapport à X

; o = ^'o('.. — ^?,») - - + a;'„(»,„ — Xp,„)