CHAPITRE i VIII. Sl^RFACeS IHJ SECOND DEGRE Il

muUipliant ces formules par x^, a-^, ... et ajoutant on a

Si Téquation A = o a une racine double on a

et les Xi dans cette formule ont les mêmes valeurs que dans (i) et (i)' car les mineurs de A sont, en vertu de ces équations» proportionnels aux X.

Ainsi les équations (i) que Ton peut écrire

9o f%"' 9n g' en vertu du théorème des fonctions homogènes, montrent que, un pôle est sur la suiface ^ = o, et par suite en vertu des formules précédentes, sur la surface /r= o; de la proportionnalité des/ et des gTi, on conclut que les surfaces ont même plan tangent en leur pôle commun et ce plan est le plan polaire correspondant.

Proposons-nous maintenant de trouver une substitution linéaire

Xq = ^00 "^ ^01 1 ••• ' ^0»'^'»»

qui réduise, si c'est possible, à la fois les formes Sa^^x^xy = / et l^^ijXiXj = gh des sommes de carrés. On devra avoir à la fois pour

/(^oo^o -*- CoiXj ..., Ci^X^ -+- c„Xj ...) et

Sr(CooXo -H Co,X, .... CjçX^ -h CjjXj ...) des sommes de carrés en X^, X, ... En d'autres termes il faudra que

5^0(^00» <^io -O^^oi -+- giipoo^ ^io -O^^ii ••• = O» puis

/(^oo'^io -O^^oa-^ =0,

S^Ko» C|0 --Os» -+- = 0»

elc...

LàUKERT. -~ Li Giomôtrie analytique générale S

Il4 LA GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE GÉNÉRALE

CCS équations donnent évidemment

Non seulement pour Xq =: coj. iP,.= Cç, ... mais encore pour x^ == c^^, aîj = Cji, ... etc. Ce qui montre que les Cy sont les systèmes de valeurs de x^, a?, ... obtenues tout à Theure pour les pointsayant les mêmes plans polaires par rapport aux deux surfaces/ = o> g = o. Les coefficients des carrés des deux formes réduites seront :.

/"(cjo. c,o ...) et 5r(coo» '")K etc.

alors si Tune des formes est

Tautre sera

Les équations des deux surfaces pourront donc s'écrire

sAfX^ = o. Ili^.iX\ = o.

et Xi sera la distance du point Xq, a?i ... au plan Ci^x^ -+- c^x^ ... = o^ à un facteur constant près.

Diamètres. — Considérons une surface du second degré (i) ¥ {x^,x^ ... x„)=o

coupons-la par un plan

(a) \Xi -+- \X^ ...-+- In^rr -h \ = O

on obtiendra une variété h n — 2 dimensions

( \^i -t- ••• ^0 = ° formée d'un cylindre et d'un plan. Ce cylindre a un lieu de centre»

^x^ ix„ \ ij