CHAPITRE II. — LES ELEMENTS 1 I

OU les a et les a sont des quantités indépendantes des x et des y et ou les Qij sont les coefGcients d'une substitution orthogonale de déterminant 4- i .

Quand les a sont nuls, la substitution (i) est ce que Ton appelle une rotation.

Quand les Oij sont nuls, saufs les au, et quand on a par suite

le déplacement est une translation.

Si deux figures F et G peuvent être transformées Tune dans l'autre par un déplacement, on dit qu'elles sont égales^ l'égalité est donc toute relative, deux figures égales en géométrie Euclidienne, ne seront pas égales dans les autres géométries. Si la figure T est la figure S déplacée, on dit que l'on a appliqué S sur T.

Jusqu'à nouvel ordre, nous Jerons de la géométrie Euclidienne^ exclusivement.

Une substitution orthogonale de déterminant — i, sera ce que nous appellerons un retournement.

Il est essentiel d'observer que deux déplacements successifs reviennent à un déplacement unique, et que par suite, un nombre quelconque de déplacements successifs, revient à un déplacement unique. En effet considérons les déplacements successifs

x^ = 0L^ -{- a^^y^ H- ... aj„j„.

(0 et

.s \.r, = Pi + ^i^i -+- ••• b,nZ„,

où les a, les j3, les a et les 6 sont constants, on a ou

-+- h («11^1 H-ûia^ài ■+• •••) -h Zj (au ^8 -^«12^1 +.-.)-+-

Or X, Xj, ..• dans ces formules renferment un terme indépendant

12 LA GËOMËTItlE ANALYTIQUE GENERALE

des z, plus des termes en z, qui ont pour coefficients, ceux d'une substitution orthogonale ; car ce sont ceux d'une substitution obtenue en faisant deux substitutions orthogonales successives, obtenues en faisant dans (i) et (2) les a et les j3 égaux à zéro, — donc deux figures égales à une troisième sont égales entre elles,

4. La ligne droite. — Un point peut toujours être amené en coïncidence avec un autre au moyen d'un déplacement, et cela d'une infinité de manières, par exemple, le point x^, x^ ... Xn^ peut être amené sury^, y^ ... j„, au moyen de la translation

La ligne droite, rappelons -le, est une ligne dont les coordonnées sont fonctions linéaires d'un paramètre / ; ses équations sont de la forme

(1) Xj = a, + ai<, Xj = aj -f-aj^ ... ar„ = a„ -t- O;»/,

les a et les a étant indépendants de / ; on peut mettre ces équations sous la forme

ir„— a„

«1 «2 flr,

On voit que la droite contient le point a,, ... a„, et que l'on peut remplacer a^, a^ ... a„ par /ca,, ka^ ... ^a„ sans que la droite cesse de représenter les mêmes points. On peut donc supposer

car on peut remplacer a^, a^ ... par / a,

alors il est clair que

Lorsque les a sont quelconques, on dit que ce sont les coefficients directeurs de la droite, et quand ils sont liés par la relation (3), on dit que ce sont les cosinus directeurs de la droite, et alors rien n'empêche, les a étant moindres que i, de poser

Qi = CCS cpj. . .