CHAPITRE , VIII. SURFACES DU SECOND PEGRE ? jl

et en .général pour que les plans (5) soient conjugués

Supposons, ce qui est permis, les 6 égaux à zéro. On sait que s a^j sont proporli( peuvent aussi s'écrire

les a^j sont proportionnels aux - — en sorte que les relations (7)

^ ôA ôA I

et les équations des diamètres conjugués seront

au an ^'

les p de leurs points d'intersection avec la surface seront donnés par la formule

et Ton aura pour les coordonnées de Texlrémité du diamètre pi

^i-aa.^A^ ^ A7-7

Les formules (7) et (8) son* celle» qui définissent une substitu-

* ' aij i

lion orthogonale, si Ton poseCiy= ":== p». on aura donc

Al -h Aj ... -i- A„ = p»i -+- pS ... -h pV

Les axes d'une surface de second degré sont les diamètres conjugués des plans principaux. Si donc Vi, v^ ... est une direction principale, les équations d'un axe seront

or on a pour déterminer v,, v^ ...

pour avoir les axes, il suffira donc d'éliminer les v entre ces équations et (8) ce qui donnera

s: — jW' — = '*"■

Si la surface était rapportée à son centre, les axes seraient les droites

et si les v étaient inconnus, on aurait les équations des axes en éliminant les V entre ces équations et (9}, ce qui donnerait

x^ ôx, Xj dX2

Disons enfin que les sommets d*une surface de second degré sont les points réels ou imaginaires où la surface rencontre ses axes.

10. Sur les substitutions linéaires qui laissent une fonction homogène du second degré invariante. — Considérons les formules

!7l —^i= Cii/i H- C^Ji ... -h C,„/n, ...-...' . ... .

y» — ^n = Cnifi 4- 0^2/2 ... + Cnnfn»

dans lesquelles on suppose

Oij = — Cji, Cu = o,

les a et les c désignant des quantités indépendantes des x et

fi = Fi (x, -h jj, X, -h Xj ... x„ -+- y„).

multiplions les équations (i) respectivement par /i, /j /, et

ajoutons les résultats ainsi obtenus^ nous aurons

(Ji — ^i)/i -^ Cr, — ar,)/, ...-+- (j„ — x„)/n = o.