CHAPITRE VIII. SURFACES DU SECOND DEGRE

OU

Oi — ^t) Sa,;, {xj -h yj) -+- Cn — x^) I.a,j [xj h- y^) -h ... (Jn — x„) la^j (xj H- yj) = o

ce qui peut s'écrire ou

Il résulte de là que si Ton résout les équations (i) par rapport •aux y par exemple, on aura une substitution linéaire, telle que si l'on y remplace les y par leurs valeurs en x dans ^aijyiyjy cette fonction deviendra ZaijXiXj.

Il importe de remarquer que la substitution la plus générale qui transforme ainsi une fonction du second degré en une autre doit

renfermer îî^^^— paramètres, c'est celle que nous venons de

•donner ; elle a de remarquable que ses coefficients sont rationnels <îtà coefficients rationnels par rapport aux a^.

Nous ferons enfin observer qu'aux substitutions que nous venons -de faire connaître il faudrait encore adjoindre celles que l'on obtien- <lrait en changeant les signes de quelques y.

Quand on connait une substitution linéaire qui change ^jyiyj -en 2 bijXjXj, il sera facile d'en déduire toutes les autres en effectuant -après celle-ci une substitution qui n'altère pas l,bjiXiXi, ou avant, une substitution qui n'altère pas Zaïjyiyy

Enfin les substitutions que nous venons de considérer ont évi- •demment pour déterminant rb i.