CHAPITRE IX. THEOREMES
et portant ces valeurs dans Ss j^' = i
ce qui montre que si une surface du second degré à centre touche un plan, le carré de la distance A* du centre à ce plan, est
égale à la somme des quantités - ou des carrés des demi-axes,
multipliés par les cosinus/) des angles que les axes font avec la
normale au plan.
Prenons alors pour plans donnés les plans de coordonnées, et
exprimons qu'ils touchent la surface de demi-axes ai,a^...ant
nous aurons en appelant x^x^ ..., les coordonnées du centre
mais les pij sont les cosinus directeurs de plans rectangulaires, donc l^pikPii = o, sauf si /f = /et alors lp^u= i, en ajoutant les équations (i) on a
ce qui montre que le liau demandé est une sphère dont le centre est au point de croisement des plans.
Corollaire. — Le lieu des points de concours de n plans rectangulaires tangents à une surface du second degré à centre est une sphère.
Lieu des centres des surfaces du 2® ordre touchant ^^" ^^ — i •' 2
plans.
Soient «, ... «„ les demi-axes a^^ ... a,„ ; 0,4 ... a^n î ... leurs cosinus directeurs, la condition de contact avec un plan
hi 4- UiiX^ -H u^iX^ ... -h u„iXn = o ou Xf = o
est, en appelant a?j ... Xnles coordonnées du centre
Télimination des a et des a donnerait le lieu. Mais on peut arriver autrement au résultat.
Pour que
touche le plan
il faut que Ton puisse identifier cette équation avec celle d'un plan tangent,
bx.
ou que .
tXn
dXi
ôF
ou en égalant ces rapports à X et rendant F homogène ôF , ôF .
ôa:
fXo
OU
supposant F = ^aijx^Xj
éliminant X et les a; entre ces équations et F = o ou celle du plan, on a
«00 ^01 ••• ^on "o
«10 a.i ... flin M,
Uft U, ... U» O
On aura ^ — i équations analogues ou «^,,0^ ... devront
être remplacés par u^i ... u„i et / par i, 2, 3 ... d*un autre côté en appelant x^x^ --* Xn les coordonnées du centre, on a
ôF ôF
ôa?| OX n
ou
à,, as, -hOir^n -|-a„=o
d'où Ton lire
*"tfi
