CHAPITRE IX. — THÉORÈMES

en posant

el (i) devient

2KiU> —- = O.

Si entre les équations obtenues en remplaçant u^par n^j, u,,-... et i par I, :«, 3 ... et les équations (A) on élimine les a^y, ou ce

qui revient au même les — » on a une équation du premier

degré en x^,x^, ... a?„. Le Ueu cherché est donc un plan.

Trouver le lieu des pôles des plans normaux à une surface du second degré

f(x^^,..Xn) = o

en un même point a^^a^ .., ùnde cette sur/ace. Les équations de la normale en a^^a^ ... a» sont

Xi — a^ a?g — flj

un plan normal est un plan qui passe par la normale, il aura donc pour équation

(i) (x, — a^) A, -h ... (Xn — an) A„ = o.

et Ton devra avoir

pour avoir le pôle d'un plan

UjX, -+- ... u^n + «o = o>

il faut identifier Téquation de ce plan avec celle du plan polaire de «i, «s à savoir

ce qui donne

Le pôle du plan (i) sera donc donné par les formules : (3) -^:A. = ...=^^:(-A.«.-A.a,...). j

Pour avoir le lieu, il faudra éliminfr A,, Aj ... entre (2) et (3). |

On simplifiera en prenant / == ^j- 4- ... ^2" — i alois (2) et (3) |

donnent

Aj j}- -H ... A„ .^- = o,

on a donc pour équations du lieu

JT «1 "*- Ti «i — = o,

a, a, ajïa

2. Sur une propriété des surfaoes. — Considérons une surface de degré p

(0 /(a^i Xn) = o,

le nombre total des coefficients de /est

et si l'un deux est a ^ on pourra mettre l'équation / = o sous la forme