CHAPITRE IX. THEOREMES

si Ton exprime que la surface en question contient v — i points on aura v — i équations de la forme

^««,p...ri»j/... = o; si Ton élimine les a on aura

xr^}

ïji

rr^.

î.Vi

Vi* v/

le déterminant qui figurie dans cette formule a v lignes et v colonnes. Soient fcaS...» ^aS ...«••• '®^ coefficients de v surfaces du degré/) multiplions les deuxjjp^çmbres de (2) par le déterminant

et appelons Sx^ 9^ -" 9>^ '®® premiers membres des équations des surfaces en question ^j,, </,j ... ^f ^ ce que deviennent ces premiers membres pour x^ =yiy x^ =y^ ••• î 5^21» S'âj ••• ce qu'ils deviennent pour X, = Zj, aîji = Zj ... et nous aurons

9ii 9ii-

•• S'iv

9ii 9u •

.• S'îv

et cette formulé sera Tune des formes que peut afTecter Téquation f{Xi ... Xu) = 0, Or rien n'empêche de supposer

9i = O^ij^i -H ... Xf^x" -h lioY.

les X étant des constantes, l'équation \/gi = o représentera alors un plan et nous supposerons que Aî^, X/j ... sont ses cosinus directeurs. L'équation (3) exprime alors que toute sur/ace f=odu degré p est le lieu des points tels que les puissances p de leurs distances à V plans j fixes, sont liées entre elles par une équation linéaire et homogène.

tiib LA GEOMETRIE ANALYTIQUE GEi^ÉRALE

Ce théorème, peut prendre une autre forme, et Ton peut dire que pour que v points soient sur une surface du degré />, ils faut et il folfil qv'il exisfe une reîatîon dé là forme (3) ea même de la forme (2).

La relation (2) aura lieu entre v points x, ... ; yi .. ; z, ... et Ton a pour des valeurs des /jl

yi^gix, ...) -f- ii^g{y^ ...) 4- fz,Sf(2, ...) ... = o

quelle que soit la fonction g, car alors on aitra

f^i -+- Ks =0.

KiiTj H- îijVj =0,

et par suite on on déduira (2). On peut donc dire que si v points sont sur une sur/ace de degré p, il existera une relation linéaire et homogène entre les quantités g (x^..,), g [yi .,.) quelle que soit la surface g et si Ton a

g — O'yXi -4- ... Kx„ -h loY

On pourra dire que, pour que v points soient sur une sur/ace de degré />, il faut et il suffit qu'il existe une relation linéaire et homogène entre les puissances p des distances de ces points à un plan arbitraire.

Ces théorèmes ont évidemment des corrélatifs que Ton démontrerait en supposant que x, , x^ ... sont des coordonnées tangentielles et que nous nous dispenserons d'énoncer.

3. Condition de contact avec une droite. — Pour que la droite

(G) x^ = a^ -h p^p. ... a;„ = ofn -h pn?

touche la surface y = o, il faut que l'équation en p

/(«i + Pi?i — ««-+- M = o

ait une racine double ou que Ton ait en même temps