CHAPITRE IX. THËOREMES

Si Ton a/=2ai,,a;4Xy les deux équations en question prendront

la forme

/(«. - -n) +(P. ,^ + ... Pn ,^)? + P»?(P, ... ?«) = O

(f désignant Tensemble du second degré de /

P./iK + P,?i .-.) + PJi(^. -^ ?iP •••) .-. = o formule ou/ = -^ . 11 suffit d'exprimer que la première a une racine double, ou de poser :

(') (P' i\ -^ ^ '^] ••' -*- P-g/J - Vi.«..«..-")^(?.. P.."P»)=o

cette équation, quand on y considère les v comme des coordonnées courantes, est l'équation d'un cylindre dont les génératric<;s touchent la surface et ont la direction /3i , ^5^ . . . /3n.

Le cône circonscrit qui a pour sommet a, a, ... s'obtiendra en éliminant les |3 et p entre l'équation qui exprime le contact et les équations (G) de sa génératrice. S'il s'agit de la surface "LaijXiXj = O, il faudra éliminer les jS et o entre (G) et (i), ce qui donnera

[. ôF , , ôF 1*

— 4/(a,«, ...) o{x, — a,,a-,— a, ...) = o, OU en observant que

on a

ou

128 LA GEOMETllIÉ A?aLYTIOUE GENERALE

OU

Or

on a donc l'équation du cône

4. Théorème de Chasles. — Voici un théorème découvert par Chastes, et qui mérite d'être signalé, parce que Tilluslre géomètre pensait qu'il ne pouvait pas être établi par l'analyse ; Liouville cependant y est parvenu ; mais, il lui a fallu pour cela inventer une méthode spéciale d'élimination. Or ce théorème de Chasles (Théorème qu'il ne pouvait pas étendre S l'espace à n dimensions), est, comme on va le voir, très facile à démontrer et à généraliser, voici en quoi il consiste :

Soit

une surface algébrique, f désignant un polynôme entier d^un degré quelconque, si on lui mène des plans tangents parallèles à une direction, l^J^,.. l„, le centre de gravité des points de contact restera fixe quand on fera varier 1^,1^,,. l„.

Les points de contact sont donnés par la formule (i) et les suivantes

ou en posant

f. = lL f..= ^V