CHAPITRE IX. — THE0RS1IB

par les équations

où s est une inconnue auxiliaire. Différentions ces équations en considérant les x et ^ comme des fonctions de l^... /„, nous aurons

posons

Vi dx^-^f^dx^ ... H-/„ ctc„= o,

|/il ^^1 -+-/18 ^8 ••• -^/indXn — /i rfs —5 rf/, = O, ifni àx^ -h/„j diC, ... -\' fnn dXn — Inds —8 dln= o ;

Jn\ Jn2 • . • Jnn 'n

nous tirerons de (3)

Or, si/ est au moins du a*' degré, les s ^- seront de degré infé-

rieur à D, et en vertu du théorème de jacobi 2(/xi sera nul, et il en sera de même de Idxg Idx^ donc 2aîj, Ix^ ... seront constants, c'est-à-dire indépendants de la direction /j, /,.../„, ce qui démontre le théorème de Chasles.

Généralisons : supposons / au moins du 3* degré, on déduira de (4)

x,dx, + x,dx, = !Jl (rf/, ^^ -h ...) + ?J (d/, ^ ...).

alors — jr- 50?, sera de degré inférieur à D, et l'on aura

^x^dx^ = O, 2 (x^dx^ -h Xjdxj) = o ou d2XjXj = O ;

donc 2a?2,, 2x,a?2 seront constants, c'est-à-dire indépendants de l'orientation l^, /j.../„, il en sera de même de Zx^^ -+■ Sx*, -4- a ^x^x^ c'est-à-dire que

Laurent. — La Géométrie analytique générale 9

]3o LA GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE GÉNÉRALE

La somme des carrés des cordes joignant les points de contact deux à deux sera constante.

Il en sera de même de la somme des moments d'inertie polaires des points de contact.

Si/ est au moins du 4* degré, on verra de même que la somme des cubes construits sur les cordes qui joignent deux à deux les points de contact est constante, etc.

On voit aussi comment on pourrait généraliser d'une autre manière, en remplaçant les plans tangents par d'autres surfaces tangentes, etc. En sorte que le théorème de Chasles n'est que le premier d'une foule de théorèmes analogues, qui ne sont que des cas particuliers du théorème dWbel et de Jacobi.