LES GÉOMÉTRIES NON EUCLIDIENNES
1. Géométrie de Riemann. — Nous allons étudier la géométrie sur rhypersphère
de rayon R. Les coordonnées d'un point, au nombre de 4 sont toujours liées par la relation (i). En réalité elles seront au nombre de trois distinctes.
Un déplacement sans changement de forme sera une substitution orthogonale et homogène, entre les 4 coordonnées de chacun des points d'une figure. Il y aura alors un invariant x^^ -h x% -f- x^j -4- ic% = X* et un autre invariant
{x, - x\y -t- (x, — x',y -h (arg — x\y -+- (x, — x\y
que Ton pourra remplacer par x^x\ -+- x^x\ -+- x^x\ -h x^x^'.
Toute équation homogène en Xj, a;^, a?g. x^ et du premier degré représentera ce que nous appellerons un plan. Deux équations linéaires et homogènes représenteront une droite.
Si on résout les équations d'une droite par rapport à deux des coordonnées, celles-ci se présenteront comme fonctions linéaires et homogènes, des deux autres, et si Ton exprime celles-ci en fonction linéaires, et homogènes de deux paramètres, u, v les équations d'une droite quelconque se présenteront sous la forme
Xj = OjU 4- /jV, ... x^ = a^u -H IfX),
l32 LA GEOMETRIE ANALYTIQUE GENERALE
Il sera commode de poser u = p ces <p, v = p sin ç, et alors
ar, = p(a, ces «p -h /^ sin ç) ...
or pour «p = o a?j = a,p ces <p, ... ainsi a^p ces ç ... et l^p sin <p ... sont les coordonnées d'un point de la droite donc p*2aj* ces* <p = R*. p*L/i« si^a ^p -- 1^8 et comme SiCi* doit aussi être égal à RS on aura
R« =: 2ai*p' ces* (p -h 2 SaAp* sin © ces «p -H S/f^p* sin* <p ;
il faudra que p^SOi/j sin «p ces <p = o et cela quel que soit y ; donc on peut supposer p = i et
2ai« = R«, 2ai/. = o. 2:/i* = R*, et les équations de la droite seront (a) Xj = flj ces <p -h /j sin <p, x^ = .,.
La longueur d'un arc de courbe sera l'intégrale
prise entre deux limites caractérisant les extrémités de l'arc, la longueur de la droite (2) prise entre des limites définies par les paramètres ^0 ^^ ?i sera
f v/s (a sin cp - / cos tp)^ d^ = /J^ Rc/ç = R (<p, — ©,),
R (tpi — (po) sera la distance des points extrémités de la droite qui les joint.
L'angle A de deux lignes en un point a?,, x^, ajj, x^ commun à ces lignes est donné par la formule
^^* ^ — ds "as' "^ (i7 ds' "^ "a* "3? "^ 'cû 37'
5 et 5' désignant les éléments des arcs au point commun. Si l'on considère la droite (2) et la droite
(3) Xi = a, cos %' -h l\ sin «p', ...
qui passent en dj, 02, «s» a*» leur angle V est donné par la formule
cos V = ee' [Sa^* sin cp sin cp' + Soi/'j cos <p' sin ç
-f- SOj/, cos cp sin cp' -f- sy^ cos cp' cos cp],
