CHAPITRE X. LES GÉOMÉTRIES NON EUCLIDIENNES
formule où e = -?, e' = -'^^ ; or s = Ro, s' == R<p', on a donc en posant <p = o, «p' = o.
CCS V = ^ sy'i.
Pour /^ = /',, ij = fj ... CCS V == I, car 2^* == R«, et les droites sont confondues, si S/i/', = o, ces V = ^, et les droites sont perpendiculaires l'une sur l'autre.
Si nous éliminons les /' et tf' entre (3), E^/^ = o et ti'f = R* ; nous aurons le lieu des droites perpendiculaires à une autre en un point donné. Or on a
., gj — a'i ces y^
• sm «p'
donc
R* sin* ^' = ^(xi — Ci cos «p')^, 2^(xi — a^ cos <p') = o.
De la dernière on tire et le lieu cherché a pour équation
«■[-(&)■] =K"--iii'-
c'est-à-dirç
«* - (iâ)'(^' - ^«'*) = ^'* - ^^«'-■- Si'
en observant que 2a« = R*, Sa;* = R*, il reste
:^aiXi ZliXi = o ;
équation qui se décompose en i,aiXi = o et tliXi = o, or le lieu doit passer en Gi^a^... et 20^0?^ = o n'y passe pas, donc le lieu cherché est le plan s/^a^j = o, dit perpendiculaire à la droite (i).
Cherchons maintenant Téquation de la droite passant par les points j'j, j'j. ^3, y^ et Zj. z^^ Zg, z^, appelons a la distance de ces deux points ; ses équations seront
X, =y, cos «p -h z'j sin «p, ...,
l34 LA GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE GENERALE
et on devra avoir
M =yi cos?' -t- z\ sin«p', ....
ou en éliminant z\, z\ ...
Xj sin îp' — Zj sin cp = yj sin (q' — o), ou
,- y^ sin ( o^ — ?) + ^i si"^ T
* Sin o'
or
donc on a pour les équations de la droite
y, sin (j[- — ?) -+- 2i sin «p
La longueur de la droite
X, = Cj ces o -h /^ sin cp, ...
est donnée par la formule R cos ((p, — (po), or aux arguments Oo et (pi correspondent les points
t\ = a, cos cpo -H /^ sin cpo, ... et x\ = a^ cos 'p, -4- /j sin «p^ ...
et Ton a , »
Sx'jo/'j = SOj^ cos ©0 cos cp, + 2/j2 sin (po sin »j -h 2 Saj/f (sin cp^ cos ©j -f- cos cp^ sin <pj),
ou
Sx\a^"j = R* cos (oj — cpo) -H 2 Za,/,- sin (cpo -t- oj ;
mais 2a,/i est nul, donc
^x\x\ = R^ cos (o, — -p,).
ce qui fournit la distance ou le cosinus de la distance de deux points en fonction de leurs coordonnées.
Revenons à l'équation (4) de la droite qui passe par les points ji ... Zi ... Considérons une autre droite
x^ sin ( w — ç' 1 -+- z, sin cp' X, = ^ . ...
sin
