LIVRE SECOND. 2i

quelqu'une de celles du premier genre, à cause que cette même équation explique le rapport qu'ont tous les points des lignes du premier genre à ceux d'une ligne droite; et que lorsqu'il n'y a point glus de huit lignes droites données, cette équation ne monte que jusqu'au carré de carré tout au plus, et que par conséquent la ligne cherchée ne peut être que du second genre, ou au-dessous; et que lorsqu'il n'y a point plus de douze lignes données, l'équation ne monte que jusqu'au carré de cube, et que par conséquent la ligne cherchée n'est que du troisième genre, ou au-dessous ; et ainsi des autres. Et même à cause que la position des lignes droites données peut varier en toutes sortes, et par conséquent faire changer tant les quantités connues que les signes H- et — de l'équation, en toutes les façons imaginables, il est évident qu'il n'y a aucune ligne courbe du premier genre qui ne soit utile à cette question, quand elle est proposée en quatre lignes droites; ni aucune du second qui n'y soit utile, quand elle est proposée en huit; ni du troisième, quand elle est proposée en douze; et ainsi des autres : en sorte qu'il n'y a pas une ligne courbe qui tombe sous le calcul et puisse être reçue en géométrie, qui n'y soit utile pour quelque nombre de lignes.

Mais il faut ici plus particulièrement que je détermine et donne la façon solution de de trouver la ligne cherchée qui sert en chaque cas, lorsqu'il n'y a que trois ^^^^ question ou quatre lignes droites données; et on verra, par même moyen, que le n'est proposée premier genre des lignes courbes n'en contient aucunes autres que les trois ^^'^^ *^^^ ^"

. , - quatre lignes.

sections coniques et le cercle.

Fig. 0.

Reprenons les quatre lignes A B, AD, EFetGHC/îflf. 9) données ci-dessus

et qu'il faille trouver une autre ligne en laquelle il se rencontre une infinité de points tels que C, duquel ayant tiré les quatre lignes CB, CD, CF et G H, à angles donnés sur les données, CB multipliée par CF produit une somme égale à CD multipliée par CH ; c'est-à-dire, ayant fait

l'équation est (*)

et CH = i^y±Iil^lfi:^,

, (cfglz — dcAz*) y — (dez* -+- cfgz — hcgz) xy -¥ hcfglx — hcfgx*

ez* — cgz*

au moins en supposant ez plus grand que cg^ car s'il étoil moindre il faudroit changer tous les signes + et — . Et si la quantité y se frouvoit nulle ou moindre que rien en cette équation, lorsqu'on a supposé le point G en l'angle DAG, il faudroit le supposer aussi en l'angle DAE, ou EAR, ou RAG, en changeant les signes H- et — selon qi^'il seroit requis à cet effet. Et si en toutes ces quatre positions la valeur de y se trouvoit nulle, la question seroit impossible au cas proposé. Mais supposons-la ici être

possible, et pour en abréger les termes, au lieu des quantités — r— ^

ez* — cgz

o 4 V A dez^ -h cfgz — hcgz . . 2n. ^ . .

écrivons 2m ; et au heu de --^ — ^ y écrivons — > et ainsi nous

ez» — cgz* z

aurons

. ^ 2n hcfglx — hcfqx*

y* = 2my xy + -^ '-f^ y

z ez* — cgz*

dont la racine est

nx m / . ^mnx n*x* hcfqix — hcfqx*

z Y z z*. cz' — cgz*

et de rechef pour abréj^er, au lieu de — i — — j ? écrivons o :

z ez* -— cgz*

(1) Les termes conlcnus enlrc deux parenthèses sont placés Fun sous Tautre dans les anciennes ^•dilionSj'comnie, par exemple, "^ ?!** i y.