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étant — X, IL est ~ x. Et je fais que le point K soit entre L et C, à cause

qu'il y a ici x; au lieu que j'aurois mis L entre K et C, si j'eusse

eu H — x; et je n'eusse point tiré cette ligne IL, si — x eût été nulle.

Or, cela fait, il ne me reste plus pour la ligne L G que ces termes

LC = l/m* -h ox 4- ^x*.

d'où je vois que s'ils étoient nuls, ce point G se trouveroit en la ligne droite IL; et que s'ils étoient tels que la racine s'en pût tirer, c'est-à-dire

P que m* et — x* étant marqués d'un même signe 4- ou — , o' fût égal à

A pm. ou bien que les termes m" et ox, ou o a; et - x* fussent nuls, ce

point G se trouveroît en une autre ligne droite qui ne seroit pas plus malaisée à trouver que IL. Mais lorsque cela n'est pas, ce point G est toujours en Tune des trois sections ou en un cercle dont Tun des diamètres est en la ligne IL, et la ligne LG est Tune de celles qui s'appliquent par ordre à ce diamètre; ou au contraire L G est parallèle au diamètre auquel celle qui est en la ligne. IL est appliquée par ordre; à savoir si le

terme - ac' est nul, cette section conique est une parabole; et s'il est marqué du signe -f-, c'est une hyperbole; et enfin s'il est marqué du signe —, c'est une ellipse, excepté seulement si la quantité a* m est égale àpz', et que l'angle ILG soit droit, auquel cas on a un cercle au lieu d'une ellipse.

Que si cette section est une parabole, son côté droit es^i égal à — 5 et son

diamètre est toujours en la ligne IL ; et pour trouver le point N, qui en est

le sommet, il faut faire IN égale à > et que le point I soit entre L et N,

si les termes sont 4- m' + ox; ou bien que le point L soit entre I et N, s'ils sont -h m* — ox; ou bien il faudroit que N fût entre I et L, s'il y avoit — wi' -f- ox. Mais il ne peut jamais y avoir — ?n', en la façon que les termes ont ici été posés. Et enfin le point N seroit le même que le point I si la quantité m* étoit nulle; au moyen de quoi il est aisé de trouver cette parabole par le premier problème du premier livre d'Apollonius.

Que si la ligne demandée est un cercle, ou une ellipse, ou une hyperbole, il faut premièrement chercher le point M qui en est le centre, et qui est

toujours en la ligne droite IL; ou on le trouve en prenant •- — pour I M,

en sorte que si la quantité est nulle, ce centre est justement au point I. Et si la ligne cherchée est un cercle ou une ellipse, on doit prendre le point M du même côté que le point L, au respect du point I, lorsqu'on a -h ox; et lorsqu'on a — ox, on le doit prendre de l'autre. Mais tout au contraire, en l'hyperbole, si on a — ox, ce centre M doit être vers L; et si on an- ox, il doit être de l'autre côlé. Après cela le côté droit de la figure