LIVRE TROISIÈME
quelqu'un des termes de l'équation égale à quelque autre donnée, comme quantité «; »»Aw4 connue de l'un
«*^y^^* des termes
d*une équation ' égale à telle
on veut avoir en sa place une autre équation en laquelle la quantité connue *"t''® i"'®" du terme qui occupe la troisième place, à savoir celle qui est ici b* soit 3 a',
il faut supposer y
puis écrire*
Au reste, tant les vraies racines que les fausses ne sont pas toujours réelles, mais quelquefois seulement imaginaires, c'est-à-dire qu'on peut bien toujours en imaginer autant que j'ai dit en chaque équation, mais qu'il n'y a quelquefois aucune quantité qui corresponde à celles qu'on imagine; comme encore qu'on en puisse imaginer trois en celle-ci,
il n'y en a toutefois qu'une réelle qui est 2, et pour les deux autres, quoiqu'on les augmente ou diminue, ou multiplie en la façon que je viens d'expliquer, on ne sauroit les rendre autres qu'imaginaires.
Or quand, pour trouver la construction de quelque problème, on vient à une équation en laquelle la quantité inconnue a trois dimensions, premièrement, si les quantités connues qui y sont contiennent quelques nombres rompus, il les faut réduire à d'autres entiers par la multiplication tantôt expliquée; et s'ils en contiennent de sourds, il faut aussi les réduire à d'autres rationnaux autant qu'il sera possible, tant par cette même multiplication que par divers autres moyens qui sont assez faciles à trouver. Puis examinant par ordre toutes les quantités qui peuvent diviser sans fraction le dernier terme, il faut voir si quelqu'une d'elles, jointe avec la quantité inconnue par le signe 4- ou — , peut composer un binôme qui divise toute la somme; et si cela est, le problème est plan, c'est-à-dire il peut être construit avec la règle et le compas ; car, ou bien la quantité connue de ce binôme est la racine cherchée, ou bien l'équation étant divisée par lui se
Que les
racines tant
vraies que
fausses peuvent être
réelles ou imaginaires.
La réduction
des équations
cubiques,
lorsque le
problème est
plan.
réduit à deux dimensions, en sorte qu'on en peut trouver après la racine par œ qui a été dit au premier livre.
Par exemple, si on a
y« — Sy"^ — i24y« — 64 = 0,
le dernier terme qui est &i peut être divisé sans fraction par 1, 2, 4, 8, 16,
32, 64; c'est pourquoi il faut examiner par ordre si celte équation ne peut
point être divisée par quelqu'un des binômes y* — i ou i/* -i- i, y* — 2
ou y* -h 2, y^ — 4, etc. ; et on trouve qu'elle peut l'être par y* — 16 en
cette sorte:
— y" — Sy'— 4y« ^^^
pw
u fafoB de Je commence par le dernier terme, et divise — 64 par — 16, ce qui fait + 4 que j*écris dans le quotient ; puis je multiplie + 4 par + y*, ce qui fait + 4y'; c'est pourquoi j'écris — 4y* en la somme qu'il faut diviser,
^ *"^^' car il y faut toujours écrire le signe -i- ou — tout contraire à celui que produit la multiplication ; et joignant — 124y' avec — 4y', j'ai — 128y* que je divise derechef par — 16, et j'ai + 8y' pour mettre dans le quotient ; et en le multipliant par y*, j*ai — 8y* pour joindre avec le terme qu'il faut diviser, qui est aussi — Sy^; et ces deux ensemble font — 16y* que je divise par — 16, ce qui fait + y^ pour le quotient éL — y* pour joindre avec + y*, ce qui fait et montre que la division est achevée. Mais s'il ètoit resté quelque quantité, ou bien qu'on n'eût pu diviser sans fraction quelqu'un des termes précédents, ou eût par là reconnu qu'elle ne pouvoit être faite.
Tout de même si on a
y* + a* ty"" — «' ^ y' — «* i
— av)
