LIVRE TROISIÈME

le dernier terme se peut diviser sans fraction par a, a', a* -h c*, a^ h- ac*^ et semblables ; mais il n'y en a que deux qu'on ait besoin de considérer, à savoir a* et a} -*- c', car les autres, donnant plus ou moins de dimensions dans le quotient qu'il n'y en a en la quantité connue du pénultième terme, empècheroient que la division ne s'y pût faire. Et notez que je ne compte ici les dimensions de if que pour trois, à cause qu'il n'y a point de «/', ni de y^y ni de y en toute la somme. Or en examinant le binôme ?/' — a' — c' == 0; on trouve que la division se peut faire par lui en cette sorte:

+ cM-" -aVr a«

ce qui montre que la racine cherchée est a* 4- c*, et la preuve en est aisée à faire par la multiplication.

Mais lorsqu'on ne trouve aucun binôme qui puisse ainsi diviser toute la Quels somme de Téquation proposée, il est certain que le problème qui en dépend problèmes sont

^ *^ *^ ^ r 1 r solides lorsque

est solide; et ce n'est pas une moindre faute après cela de tâcher à le réquaiionest construire sans y employer que des cercles et des lignes droites, que ce cubique, seroit d'employer des sections coniques à construire ceux auxquels on n'a besoin que de cercles: car enfin tout ce qui témoigne quelque ignorance s'appelle faute.

Que si on a une équation dont la quantité inconnue ait quatre dimensions, La réduction il faut en même façon, après en avoir ôté les nombres sourds et rompus, s'il ^^ équations

• • * 1 u- A • 1- • 4 i 1 qui ont quatre

y en a, voir si on pourra trouver quelque binôme qui divise toute la somme dimensions, en le composant de Tune des quantités qui divisent sans fraction le dernier lorsque ic terme. Et si on en trouve un, ou bien la quantité connue de ce binôme est pian. Et quels

la racine cherchée, ou du moins, après cette division, il ne reste en l'équation ^^^ ^^^^ ^"*

sont solides.

que trois dimensions, ensuite de quoi il faut derechef l'examiner en la

même sorte. Mais lorsqu'il ne se trouve point de tel binôme, il faut, en

Descartes. — Géométrie. 9

augmentant ou diminuant la valeur de la racine, ôter le second terme de la somme en la façon tantôt expliquée, et après la réduire à une autre qui ne contienne que trois dimensions; ce qui se fait en cette sorte: au lieu de

-*- oc* ... px^ ... qx ... r = 0, il faut écrire

-h y" ... 2pi/* -*- (p* ... 4r) i/* — g" =: 0.

Et pour les signes + ou — que j*ai omis, s'il y a eu -*- jî en la précédente équalion, il faut mettre en celle-ci 4- 2/?, ou s'il y a eu — 2?, il faut mettre — 2p; et au contraire s'il y a eu -h r, il faut mettre — 4r, ou s'il y a eu — r, il faut mettre + 4)' ; et soit qu'il y ait eu h- g ou — g, il faut toujours mettre — q' et -H p', au moins si on suppose que x* et y^ sont marqués du signe -H, car ce seroit tout le contraire si on y supposoit le signe — .

Par exemple, si on a

+ X* — 4x' — 8x + 35 = 0, il faut écrire en son lieu

y^ ^ Sy^^ 1242/' — 64 = 0,

car la quantité que j'ai nommée p étant — 4, il faut mettre — Sy" pour 2py^; et celle que j'ai nommée r étant 35, il faut mettre (16 — 140) y', c'est-àdire — 124 y' au lieu de {p* — 4r)î/* ; et enfin q étant 8. il faut mettre — 64 pour — q*.

Tout de même, au lieu de

-I- x^ — 17x* — 20x — 6 = 0, il faut écrire

car 34 est double de 17, et 313 en est le carré joint au quadruple de 6, et 400 est le carré de 20.

Tout de même aussi au lieu de

-t- z^ + (^ a» — A z» — {a* -h ac^) z — 1 a^ - 1 a^c* = 0, -