LIVRE TROISIÈME

décrire le cercle F G dont le demi-diamètre soit AE si Téquation n'est que cubique, en sorte que la quantité r soit nulle. Mais quand il y a -h f il faut dans cette ligne AE (fig. ^7) prolongée prendre d'un côté A R égale à r, et de l'autre AS égale au côté droit de la parabole qui est 1; et ayant décrit

Fig. 28. Fig. W.

un cercle dont le diamètre soit R S, il faut faire AH perpendiculaire sur AE, laquelle AH rencontre ce cercle RHS au point H qui est celui par où l'autre cercle FHG doit passer. Et quand il y a — r, il faut, après avoir ainsi trouvé la ligne AH (fig, ^0), inscrire AI qui lui soit égale, dans un autre cercle dont AE soit le diamètre, et lors c'est par le point I que doit passer FIG le premier cercle cherché. Or ce cercle F G peut couper ou toucher la parabole en un, ou deux, ou trois, ou quatre points, desquels tirant des perpendiculaires sur l'essieu, on a toutes les racines de l'équation tant vraies que fausses. A savoir si la quantité q est marquée du signe -h, les vraies racines seront celles de ces perpendiculaires qui se trouveront du même côté de la parabole que E le centre du cercle, comme FL; et les autres, comme GK, seront fausses. Mais au contraire, si cette quantité q est marquée du signe — , les vraies seront celles de l'autre côté, et les fausses ou moindres que rien seront du côté où est E le centre du cercle. Et enfin si ce cercle ne coupe ni ne touche la parabole en aucun point, cela témoigne qu'il n'y a aucune racine ni vraie ni fausse en l'équation, et qu'elles sont toutes imaginaires. En sorte que cette règle est la plus générale et la plus accomplie qu'il soit possible de souhaiter.

I)Ksr.ARTi:5. — Géométrie.

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Et la démonstration en est fort aisée; car si la ligne GK (fig. 21)^ trouvée par cette construction, se nomme 2, AK sera 2', à cause de la parabole en laquelle GK doit être moyenne proportionnelle entre AK et le côté droit qui

est 1 ; puis, si de AK j'ôte AC qui est -? et CD qui est -p, il reste DK ou

EM qui est 2* — - p — -» dont le carré est

et à cause que DE ou KM est - g, la toute GM est 2 4- 5 g, dont le carré est

et assemblant ces deux carrés on a

pour le carré de la ligne GE, à cause qu'elle est la base du triangle rectangle EMG.

Mais à cause que cette même ligne GE est le demi-diamètre du cercle FG,

elle se peut encore expliquer en d'autres termes, à savoir ED étant - ^, et

AD étant 5 i' "*" ô' ^^ ^^

à cause de l'angle droit ADE; puis HA étant moyenne proportionnelle, entre

AS qui est 1 et AR qui est r, elle est Vr\ et à cause de l'angle droit EAH, le carré de HE ou EG est

si bien qu'il y a équation entre cette somme et la précédente, ce qui est le