LIVRE TROISIÈME

même que

z* = pz^ — qz -h Tj

et par conséquent la ligne trouvée GK qui a été nommée z est la racine de cette équation, ainsi qu'il falloil démontrer. Et si vous appliquez ce même calcul à tous les autres cas de cette règle en changeant les signes 4- et — selon l'occasion, vous y trouverez votre compte en même sorte, sans qu'il soit besoin que je m'y arrête.

Si on veut donc, suivant cette règle, trouver deux moyennes proportionnelles entre les lignes a et q (fig, 28), chacun sait que posant z pour l'une,

z* 2* 2' comme a est à z^ ainsi z k—y et — à -5; de façon qu'il y a équation

entre g et —? c'est-à-dire or

Et la parabole FAG étant décrite, avec la partie de son essieu AG qui est -a

la moitié du côté droit, il faut du point G élever la perpendiculaire GE égale

à -g, et du centre E par A, décrivant le cercle AF, on trouve FL et LA

pour les deux moyennes cherchées.

LMnTention de deux moyennes proportionnelles.

Fig. 30,

La façon de diviser un Tout de même si on veut diviser l'angle NOP (fig. 30), ou bien l'arc ou angle en trois.

portion de cercle NQPT en trois parties égales, faisant NO = 1 pour le rayon du cercle, et NP := g pour la subtendue de Tare donné, et NQ = z pour la subtendue du tiers de cet arc, l'équation vient

€ar ayant tiré les lignes NQ, OQ, OT, et faisant QS parallèle à TO, on voit que comme NO est à NQ, ainsi NQ à QR, et QR à RS; en sorte que NO étant 1, et NQ étant 2, QR est z*, et RS est 2'; et à cause qu'il s'en faut seulement R S ou z* que la ligne N P qui est g ne soit triple de NQ qui est z^ on a

g = 32 — 2*, ou bien

Puis la parabole FAG étant décrite, et G A la moitié de son côté droit

principal étant -» si on prend CD = -•> et la perpendiculaire DE = -g, et

que du centre E par A on décrive le cercle FAgrG, il coupe cette parabole aux trois points F, g et G, sans compter le point A qui en est le sommet ; ce qui montre qu'il y a trois racines en cette équation, à savoir les deux G K et gk qui sont vraies, et la troisième qui est fausse, à savoir FL. Et de ces deux vraies c'est gfe la plus petite qu'il faut prendre pour la ligne NQ qui étoit cherchée; car l'autre GK est égale à NV la subtendue de la troisième partie de l'arc NVP, qui avec l'autre arc NQP achève le cercle. Et la fausse FL est égale à ces deux ensembles QN et NV, ainsi qu'il est aisé à voir par le calcul.

Il seroit superflu que je m'arrêtasse à donner ici d'autres exemples, car tous les problèmes qui ne sont que solides se peuvent réduire à tel point qu'on n'a aucun besoin de cette règle pour les construire, sinon en tant qu'elle sert à trouver deux moyennes proportionnelles, ou bien à diviser un constructions, angle en trois parties égales, ainsi que vous connoîtrez en considérant que leurs difficultés peuvent toujours être comprises en des équations qui ne montent que jusques au carré de carré ou au cube, et que toutes celles qui montent au carré de carré se réduisent au carré par le moyen de quelques

Que tous les

problèmes

solides se

peuvent

réduire à ces

deux