LIVRE TROISIÈME

autres qui ne raonlent que jusques au cube, et enfin qu'on peut ôler le second terme de celles-ci; en sorte qu'il n'y en a point qui ne se puisse réduire à quelqu'une de ces trois formes :

z* = — pz + g, z*=-^pz -h q, z^ = -h pz — q.

Or si on a 2* = — pz -h g, la règle dont Cardan attribue l'invention à un nommé Scipio Ferreus nous apprend que la radne est

Comme aussi lorsqu'on a z* = 4- 232: -h g, et que le carré de la moitié du dernier terme est plus grand que le cube du tiers de la quantité connue du pénultième, une pareille règle nous apprend que la racine est

D'où il paroît qu'on peut construire tous les problèmes dont les difficultés se

réduisent à l'une de ces deux formes, sans avoir besoin des sections coniques

pour autre chose que pour tirer les racines cubiques de quelques quantités

données, c'est-à-dire pour trouver deux moyennes proportionnelles entre ces

quantités et l'unité.

Puis, si on a 2' = H- p^ -f- g, et que le carré de la moitié du dernier

terme ne soit point plus grand que le cube du tiers de la quantité connue

du pénultième, en supposant le cercle NQPV dont le demi-diamètre NO

/ï~ soit 1/ ô l' j c'est-à-dire la moyenne proportionnelle entre le tiers de la

quantité donnée p et l'unité, et supposant aussi la ligne NP inscrite dans ce

cercle qui soit ~ ? c'est-À-dire qui soit à l'autre quantité donnée q comme

l'unité est au tiers de p, il ne faut que diviser chacun des deux arcs NQP et NVP en trois parties égales, et on aura NQ la sublendue du tiers de Tun,

et NV la subtendue du tiers de l'autre, qui jointes ensemble composeront la racine cherchée.

Enfin si on a z^ = pz — g, en supposant derechef le cercle NQPV dont

le rayon NO soit 1/ ;j 1>> et l'inscrite NP soit — » NQ la subtendue du tiers

de l'arc NQP sera l'une des racines cherchées, et NV la subtendue du tiers de l'autre arc sera l'autre. Au moins, si le carré de la moitié du dernier terme n'est point plus grand que le cube du tiers de la quantité connue du pénultième; car s'il étoit plus grand, la ligne NP ne pourroit être inscrite dans le cercle, à cause qu'elle seroit plus longue que son diamètre, ce qui seroit cause que les deux vraies racines de cette équation ne seroient qu'imaginaires, et qu'il n'y en auroit de réelle que la fausse, qui, suivant la règle de Cardan, seroit

V/c.!,.j/l,.-lp..V/c.l,-j/î,.-±P-.

u façon Au reste, il est à remarquer que cette façon d'exprimer la valeur des

d'exprimer it racines par le rapport qu'elles ont aux côtés de certains cubes dont il n'y a

toates les que le contenu qu'on connoLsse, n'est en rien plus intelligible ni plus simple

X^» •»"* ^^ '^ *^P"'°*'' P*' '* "'PP^'^ "ï"'*"^ °°* *"* subtendues de certains

cubiques, et arcs OU portions de cercles dont le triple est donné ; en sorte que toutes celles

ensuite de ^j^g équations cubiques qui ne peuvent être exprimées par les r^les de

qui Démontent Cardan, le peuvent être autant ou plus clairement par la façon ici proposée, quejusquesau Qj^j, gj^ ^p exemple, on pense connoître la racine de cette équation

carré de carré.