LIVRE TROISIEME

dont le contenu est - g* — ~ |9*, qui est tout ce qu'on en apprend par la

règle de Cardan. Il n'y a point de doute qu'on ne connoisse autant ou plus distinctement la racine de celle-ci

z* = -h qz — Pj en la considérant inscrite dans un cercle dont le demi-diamètre est 1/ - p ,

et sachant qu'elle y est la subtendue d'un arc dont le triple a pour sa

3g subtendue — • Même ces termes sont beaucoup moins embarrassés que les

autres, et ils se trouveront beaucoup plus courts si ou veut user de quelque chiffre particulier pour exprimer ces subtendues, ainsi qu'on fait du chiffre KC. pour exprimer le côté des cubes.

Et on peut aussi ensuite de ceci exprimer les racines de toutes les équations qui montent jusques au carré de carré par les règles ci-dessus expliquées; en sorte que je ne sache rien de plus à désirer en cette matière: cai^ enfin la nature de ces racines ne permet pas qu'on les exprime en termes plus simples, ni qu'on les détermine par aucune construction qui soit ensemble plus générale et plus facile.

Il est vrai que je n'ai pas encore dit sur quelles raisons je me fonde pour oser ainsi assurer si une chose est possible ou ne l'est pas. Mais si on prend garde comment, par la méthode dont je me sers, tout ce qui tombe sous la considération des géomètres se réduit à un même genre de problèmes, qui est de chercher la valeur des racines de quelque équation, on jugera bien qu'il n'est pas malaisé de faire un dénombrement de toutes les voies par lesquelles on les peut trouver, qui soit sufflsant pour démontrer qu'on a choisi la plus générale et la plus simple. Et particulièrement pour ce qui est des problèmes solides, que j'ai dit ne pouvoir être construits sans qu'on y emploie quelque ligne plus composée que la circulaire, c'est chose qu'on peut assez trouver de ce qu'ils se réduisent tous à deux constructions, en l'une desquelles il faut avoir tout ensemble les deux points qui déterminent deux moyennes proportionnelles entre deux lignes données, et en l'autre les deux points qui divisent en trois parties égales un arc donné ; car d'autant que la courbure du cercle ne dépend que d'un simple rapport de toutes ses

Pourquoi \es

problèmes

solides ne

peuvent Atro

construils sans

les sections

coniques, ni

ceux qui sont

plus composés

sans quelques

autres lignes

plus composées.

parties au point qui en est le centre, on ne peut aussi s'en servir qu'à déterminer un seul point entre deux extrêmes, comme à trouver une moyenne proportionnelle entre deux lignes droites données, ou diviser en deux un arc donné ; au lieu que la courbure des sections coniques, dépendant toujours de deux diverses choses, peut aussi servir à déterminer deux points différents.

Mais pour cette même raison il est impossible qu'aucun des problèmes

qui sont d'un degré plus composés que les solides, et qui présupposent

l'invention de quatre moyennes proportionnelles, ou la division d'un angle

en cinq parties égales, puissent être construits par aucune des sections

coniques. C'est pourquoi je croirai faire en ceci tout le mieux qui se puisse,

si je donne une règle générale pour les construire, en y employant la ligne

courbe qui se décrit par l'intersection d'une parabole et d'une ligne droite

en la façon ci-dessus expliquée; car j'ose assurer qu'il n'y en a point de

plus simple en la nature qui puisse servir à ce même effet, et vous avez vu

comme elle suit immédiatement les sections coniques en cette question tant

cherchée par les anciens, dont la solution enseigne par ordre toutes les

lignes courbes qui doivent être reçues en géométrie.

Façon Vous savez déjà comment, lorsqu'on cherche les quantités qui sont requises

^ construire"^ P^^^ ^^ construction de ces problèmes, on les peut toujours réduire à quelque

tous les équation qui ne monte que jusques au carré de cube ou au sursolide. Puis

réd^uits™une ^^"^ savez aussi comment, en augmentant la valeur des racines de cette

équation qui équation, on peut toujours faire qu'elles deviennent toutes vraies, et avec

"* d^six^ "^ ^^^ ^"® '^ quantité connue du troisième terme soit plus grande que le carré

dimensions, de la moitié de celle du second; et enfin comment, si elle ne monte que

jusques au sursolide, on la peut hausser jusques au carré de cube, et faire

que la place d'aucun de ces termes ne manque d'être remplie. Qr, afin que

toutes les difficultés dont il est ici question puissent être résolues par une

même règle, je désire qu'on fasse toutes ces choses, et par ce moyen qu'on

les réduise toujours à une équation de telle forme,

2/* — Py* -^ QU^ — »'!/' -h sê/* — tï/ 4- u = 0,

et en laquelle la quantité nommée q soit plus grande que le carré de la moitié de celle qui est nommée p. Puis ayant fait la ligne BK (fig, tM)