XII. — Rotations conjuguées

1. Nous avons reconnu que le déplacement hélicoïdal est le plus simple de ceux au moyen desquels on peut mouvoir un corps dans l'espace. Il est visible qu'il existe une infinité de déplacements au moyen desquels on arrivera au même résultat. C'est ainsi que 1 peut être amené à occuper d'abord la position 1^9 puis seulement la position finale 2i, etc.

Parmi tous ces mouvements, il ne peut exister aucun autre déplacement hélicoïdal, car a: est la seule droite à distance finie qui soit commune à Iq et 2i. Mais il existe encore un groupe de mouvements simples au moyen desquels on peut passer de la position Iq à la position I^. Nous allons nous en occuper dans ce paragraphe.

Si g est une droite quelconque de 1 etg^ la droite correspondante de 2^, g arrivera en gi au moyen d'une rotation autour de g^. Si donc nous imprimons au système 2 une rotation autour de ^^ jusqu'à ce que ^0 et ^1 coïncident, c'està-dire jusqu'à ce que deux points correspondants des deux droites coïncident, il suffira alors d'une rotation autour de gi pour amener In dans sa position finale. Comme g et g^ forment un couple quelconque de droites correspondantes de 1 et l^j il s'ensuit que :

Si g et g^ sont deux droites correspondantes quelconques des systèmes réciproques 2 et 2^, 2 peut passer de la position 2o à la position ij au moyen de deux rotations dont la première a lieu autour de g"*, la seconde autour de g. L'un des deux axes de rotation peut être pris arbitrairement.

On appellera deux pareilles droites des axes de rotation conjugués. La droite g"* doit être considérée comme étant une droite fixe de l'espace U, et g comme une droite déterminée du système 2. Le second axe de rotation, considéré comme droite de H, est la position finale de la droite g.

2. Si Tune des droites g et g"* est à l'infini, la rotation correspondante se réduit à une translation. Si, par exemple,

MOUVEMENT d'uN SYSTÈME INTARIABLE. I79

gy et par suite g^^ est à l'infini, g"* sera un diamètre du système focal formé par 2'" et 2^ ; de même, si g"* est une droite à Tinfini, g"*' sera un diamètre ; donc g^ et g^ seront aussi parallèles à Taxe du déplacement, c'est-à-dire que :

Tout déplacement d'un système à trois dimensions peut, d'une infinité de meunières , s'obtenir au moyen d'une rotation combinée à une translation. Les axes de rotation sont tous parallèles entre eux et à l'axe du déplacement,

3. En général. Tordre des deux rotations n'est pas interversible. En effet, si la première rotation se fait autour de g^ c'est-à-dire autour de la droite g^ de l'espace fixe, et si ^^, considérée comme droite de 2, est désignée par h^, il faut que Ao puisse être amenée dans la position Aj, non seulement par une rotation autour de ^i, mais encore par rotation autour de gQ ; et de même, il faut que g puisse être amenée en ^1, non seulement par rotation autour de ^^= ^o> mais aussi par rotation autour de h^. Il faut donc que

{gJh) = A (^o^i) = A (^i^o) ^-^ A (^1^,).

Or ceci n'aura pas lieu en général. Car nous pouvons déterminer les positions Iq et I^ en nous donnant les positions gQj h^ et^i, Al des droites g et A, et comme celles-ci sont arbitraires, les conditions précédentes ne seront pas satisfaites en général.

Toutefois, nous allons démontrer l'existence d'un système de couples de droites conjuguées, pour lesquelles l'ordre de rotation est indifférent. Lorsque chaque point A d'un plan e appartenant à 2 est arrivé à sa position finale Ai, il en est de môme pour 2 tout entier. Or nous avons déjà vu que tout déplacement d'un plan s'obtient au moyen de deux rotations qui peuvent se faire dans un ordre quelconque autour de deux droites perpendiculaires l'une sur l'autre e et e"*.

Mais la droite e se faisait remarquer par celte propriété que Cq et e^ se coupent, et Ton peut faire voir que la droite é^ considérée comme droite û? de 2 jouit de la même propriété. En effet, si nous faisons d'abord tourner 2 autour de e^ = c/q jusqu'à ce que e^ coïncide avec ej, et si ensuite nous effec-

l8o CHAPITRE m.

tuons la rotation autour de e^ é*rz^d restera, pendant cette rotation, dans un plan perpendiculaire à e,, c'est-à-dire que d^ et d^ se coupent. Nous arrivons donc au résultat suivant :

V ordre des rotations est interchangeable, si les deux droites conjuguées se coupent à angle droit. Si e est l'une de ces droites, elle jouira toujours de cette propriété que e^ et e^ se coupent»

Chacune de ces droites e est telle que sa médiane e"^ est la caractéristique d'un plan e'" de i*".

4.. Toute droite de Tespace peut être considérée comme une droite g'^ de 2^. Alors il existe toujours une droite g, telle que si 1 tourne d'un certain angle autour de g^y g^ vienne coïncider avec g^, A chaque droite de l'espace correspond ainsi un angle déterminé de rotation. On peut obtenir sa valeur de la façon suivante :

Si G'" et G^ sont les points de g"* et de g^ où ces droites sont coupées par leur perpendiculaire commune, soient /• et p les distances de ces points a l'axe x du déplacement. Nous désignerons par X l'angle que la corde GqGj du point G'" fait avec x; les composantes du mouvement hélicoïdal seront encore 2 U et 2 12, et l'angle de rotation correspondant à ^\ c'est-à-dire l'angle GqG^Gi, sera 2c»)^. On a

Mais la projection de la corde GoG, sur :r a la valeur al. par conséquent

iGoG, =zU :cosX,

et comme la corde GoGi et l'axe de rotation g'^ font des angles complémentaires avec x, on a

cosXzz:sin(^^^); li s'ensuit que

AGoGi=:U:sin(^^a:).

MOUYEHENT d'uN SYSTÈME INVARIABLE. l8l

De plus [XI, éq. (5)],

U sinig-^g^)

Donc

lang£2 sin{g'"û::)s\n(g^x)

tangw^ sinig^œ)

tang^ ~~ sin(^"*^^)

Comme ^"* et g"^ sont des droites conjuguées du système focal formé par 1"^ et 2^, c'est-à-dire qu'elles ont une signifîcation géométrique réciproque, on a de la même manière, pour la rotation 2 0)'" correspondant à g^,

.. V tango) ^" __ sin(j^^^)

^^^ tang^ " sin(^'«^^)'

et il faut remarquer qu'ici g'^ doit être considérée comme une droite A^ de 2^, c'est-à-dire comme un axe de rotation pour les droites Aq et h^ de 1q et Ij.

Des deux dernières équations on tire

,5. tangûo'^ tangw^ tangi2

sin(^^a?) sin^"*a7 sin(^"*^^)

et cette formule conduit immédiatement à la proposition suivante :

Si, par un point quelconque de l'espace, on mène trois droites parallèles à deux droites conjuguées g^ et g^ et à Vaxe du déplacement, et que, sur ces droites, on porte des longueurs proportionnelles à tangw'", tangw^, tang^, ces trois longueurs seront les côtés et la diagonale d'un parallélogramme,

5. L'équation (i) détermine la valeur de w^ à Taide de la droite g"^ conjuguée de g'^. Nous nous proposons de la transformer, de manière à ne faire intervenir que la droite g^.

On avait

langci)^

iGoG,

U:sin

tangiî (/•

H- p)langÛ ■

"'U[colg(^'«^)

H- COtg(^^

Mais Donc

Ucolg(^'"

x)=:ptangîî.

langGi)

tangl2 p tangî2sin(^^j7) -h U cos(^^a;)'

et dans cette expression de tangw^ n'intervient que la droite ^\ Le dénominateur du second membre de Téquation a une signification géométrique simple. Il est, en effet [XI, éq. (10)], égal à la projection de la demi-corde de G^ sur g^, en admettant que nous considérions g^ comme une médiane A'" do 2". Désignons par/?^ la valeur de cette projection; on a

(4) p" langw^ = U tangiî,

c'est-à-dire que :

Pour toutes les droites g"* le produit p^ tangw^ a une valeur constante.

L'expression U tang^ est la valeur de ce produit pour l'axe du déplacement. Mais si nous choisissons comme droite g* une droite qui lui est parallèle, /?^ aura également la valeur U; donc l'angle de rotation correspondant est aussi au, c'està-dire que :

Pour toutes les droites parallèles à Vaxe du déplacement^ Vangle de rotation correspondant est constant et égal à la composante de rotation du mouvement hélicoïdal.

Si donc nous remplaçons le mouvement hélicoïdal par une rotation et une translation, ce n'est pas seulement la direction de Taxe de rotation, mais aussi la grandeur de cette rotation qui reste constante.

6. Désignons la droite g^ considérée comme droite de 2'" par h"^ et le point G^ par H'", jo^ est la projection de { HoHi sur g^. Mais

\ HoHi ={r -^ p) tangci)'".

MOUVEMENT d'uN SYSTÈME INVARIABLE. l83

et comme la corde HqHi est dans un plan perpendiculaire à g'^y HqHi et g'"- feront des angles complémentaires avec g^y et il s'ensuit que

p"* = (r4-p) tangci)'"sin(^'"^^).

L'équation (4) se transforme donc en

(5) (/• -+- p) tangw'" tangto^ sin(^'"^^) = Utang£2,

c'est-à-dire que le produit qui figure au premier membre a une valeur constante pour deux droites conjuguées g^ et g"*. Ce produit est susceptible d'une interprétation géométrique simple.

Si, en effet, nous portons sur les deux droites g^ et g"* des longueurs proportionnelles à tango'" et tangw^, les quatre extrémités seront les sommets d'un tétraèdre. Mais le sextuple du volume d'un tétraèdre est égal au produit de deux arêtes opposées multiplié par leur plus courte distance et par le sinus de l'angle que font entre elles ces arêtes. Nous voyons donc que le premier membre de notre équation représente six fois le volume du tétraèdre que nous venons de construire ; et la position relative des longueurs portées sur g"^ et g"* est complètement indifférente, c'est-à-dire que :

Si Von porte sur deux droites conjuguées g^ et g"* deux longueurs proportionnelles à tangw"' et tangw^, le tétraèdre ainsi défini a un volume constant pour tous les couples de droites conjuguées, pourvu que le rapport de proportionnalité reste le même.

Les théorèmes établis dans ce qui précède sont valables pour des positions infiniment voisines du système. On peut donc les énoncer pour un moment quelconque du mouvement. Au lieu des grandeurs tangw'" et tangw^ interviennent alors les rotations inflniment petites w et w^ qui correspondent à deux axes de rotation conjugués.

XIIL — Exemples.

1. Pour finir, on traitera quelques problèmes qui concernent des mouvements spéciaux de systèmes à trois dimensions.

l84 CHAPITRE III.

Un premier exemple sera le suivant :

Un Irièdre trirectangle se meut de telle façon que soft sommet décrive une courbe c\ pendant que les faces a, p, y restent les plans osculateur, normal et rectifiant de la courbée'.

Nous déterminons ainsi d'une manière complète le déplacement du trièdre et du système 2 dont il fait partie; car, si nous considérons une position arbitraire du trièdre mobile, et que T soit un point de a qui est sur la tangente f à la courbe c', que K soit un point de (3 qui est sur Taxe de courbure k de c', et que le point H de y soit sur la droite rectifiante h de c', nous pourrons définir, à Tinstant considéré, le mouvement de la manière suivante :

Le mouvement se fait de telle façon que le point S de I se déplace sur une courbe c', et que les points T, K, H du système restent dans le plan oscuiateur, dans le plan normal et dans le plan rectifiant de c\ Nous voyons donc qu'en effet le système focal est déterminé à chaque instant, c'est-à-dire que le mouvement de 2 est complètement déterminé.

Le plan (3 a Taxe de courbure k de la courbe comme caractéristique et le point S comme foyer: donc A: et ^ sont deux droites conjuguées à angle droit Tune sur l'autre. Par conséquent, t est la caractéristique, et le centre de courbure C le loyer du plan a. L'axe x du déplacement rencontre la droite I a(3|, c'est-à-dire la normale principale de c\ à angle droit. Le plan y est donc parallèle à l'axe du déplacement, et, comme sa caractéristique est la droite rectifiante A, celle-ci est parallèle à l'axe du déplacement. La droite K* conjuguée de A est donc à l'infini, et h passant par S, c'est-à-dire par le foyer de (3, iC* est située dans le plan (3, c'est-à-dire que c'est la droite de ce plan qui est rejetée à Tinfini. La droite d'intersection a de (3 et y est un rayon du complexe parce qu'elle passe par le foyer S de P; elle passe donc aussi parle foyer de y, c'est-à-dire que le foyer de y est le point à l'infini sur a.

Pour construire l'axe instantané, il nous suffit de deux couples de droites conjuguées. Nous en connaissons déjà un.

Soit maintenant une droite quelconque g qui rencontre la tangente t et l'axe de courbure A:, et soient R et T ses points d'intersection avec ces droites; le plan normal de T passera

MOUYEMENT D'uN SYSTÈME INVARIABLE. l85

par le foyer C de a et sera perpendiculaire sur a ; le plan normal de K passe par S et il est perpendiculaire sur |3. On sait donc construire ces deux plans normaux et, par suite, la droite conjuguée g"* de g.

Soit X le point où Taxe instantané rencontre la normale principale Xy et désignons par 9 Tangle que fait avec t Taxe €l, par conséquent, aussi la droite rectifiante.

On aura [XI, éq. (16)],

AX colg9 — ex tang9, c'esl-à-dire

AX — ex tang' 9, CX = AX colg>.

Delà

AX + CX — CX(i -4- tang29),