CX-4-AX=iAX(i-+- colg'9) ot enfin

AXrr:ACC0S«9,

CXr-ACsin»9.

Ces équations déterminent le point X où la normale principale est coupée par ^ (').

2. L*hyperboloïde orthogonal est engendré par deux faisceaux projectifs dont les plans correspondants sont perpendiculaires l'un sur Tautre (VII, k). Si donc deux plans perpendiculaires Tun sur l'autre a et (3 se déplacent de manière que chacun d'eux passe par une droite fixe, la ligne d'intersection des deux plans décrira un hyperboloïde orthogonal.

Soient a' et b' les droites fixes et h la droite d'intersection des plans a et (3.

Le mouvement est déterminé par quatre conditions. Toute droite élevée sur a en un point quelconque de a' est un rayon normal, de même toute droite perpendiculaire à p en un point de b'. Soient y et i les pians qui passent par ces droites

et les normales à a et (3, leur droite d'intersection g sera

(*) L'axe du déplacement est alors l'axe de l'hélice osculatrJce de c' . (ScHELL, Allgemeine Théorie der Curven doppelter Krûmmungf Chip. IX, n"* 3 et 5.)

l86 CHAPITRE III.

une des lignes qui sont rencontrées par toutes les normales; Tautre est la droite de rinfini perpendiculaire sur A. Ces deux droites sont donc les rayons directeurs du système de rayons formé par les normales, et, en même temps, les deux droites qui sont conjuguées pour tous les déplacements possibles du système.

La caractéristique de a est a' et celle de p est b'. Le plan/ qui passe par a' et qui est perpendiculaire sur a renferme, par conséquent, toutes les droites adjointes aux plans perpendiculaires à a (VI, 3), et de même le plan d qui passe par b'y et qui est perpendiculaire à (3, renferme toutes les droites adjointes aux plans perpendiculaires à p. Par conséquent, la droite d'intersection g des plans y et â est adjointe aux plans perpendiculaires à h. Elle se trouve, par conséquent, sur le paraboloïde des normales de h.

De là résulte une construction de la normale à l'hyperboloïde orthogonal. Au point A de A, élevons sur cette droite une perpendiculaire qui rencontre g : ce sera la normale.

La droite g est un diamètre pour tout système focal qui correspond à un des mouvements possibles : donc tous les axes du déplacement sont parallèles entre eux, et le cylindroïde des axes se réduit à un faisceau de rayons parallèles. En effet, la perpendiculaire commune à deux droites g et g" rencontre aussi les diamètres adjoints aux plans perpendiculaires sur g ou g"*. Donc nous devons considérer la perpendiculaire commune à ^ et à A comme étant aussi la perpendiculaire commune à ^ et g^i,. Nous obtiendrons alors le cylindroïde (X, 9) en coupant le système de rayons par un plan quelconque e contenant ^J^, et si nous déterminons toutes les droites qui sont perpendiculaires à la fois sur k et sur un des rayons contenus dans e. Mais le plan £ est parallèle à k\ donc les perpendiculaires forment, en effet, un faisceau de rayons parallèles.

La tangente à la trajectoire de tout point A de ^ est parallèle à hy car elle est normale à un plan qui passe par deux rayons perpendiculaires sur A. Pour tout mouvement possible, nous avons donc la relation (XI, 13)

tang(A^)zi=r:/?,

MOUVEMENT d'uN SYSTÈME INVARIABLE. 187

OÙ /• est la distance du point à l'axe instantané, et p le paramètre du mouvement hélicoïdal correspondant.

3. Les surfaces podaires fournissent un exemple pour le cas où le mouvement d'un système n'est soumis qu'à trois conditions où, par conséquent, ce système possède le troisième degré de liberté.

Soit O' une surface quelconque et A' un point fixe dans l'espace. Si de A' nous abaissons des perpendiculaires sur tous les plans tangents t de la surface O', le lieu des points P est la surface podaire de ^'. On peut l'engendrer aussi en déplaçant le système formé par le plan t, et la perpendiculaire a élevée en P à ce plan, de telle manière que t reste constamment tangent à la surface O' pendant que a passe toujours par un point fixe A'. On connaît donc à chaque instant trois rayons normaux, à savoir la normale / au point de contact, et le plan normal de A' qui remplace deux normales ; car^ dans le mouvement inverse, A' se déplace sur «, et les plans normaux se confondent pour le mouvement direct et le mouvement inverse.

Soient maintenant m Qi n deux rayons du plan normal qui passent par A'. Le mouvement est défini dans chaque position du système par /, m, n. Déterminons l'hyperboloïde dont les points sont forcés de rester sur des surfaces. Comme m et n se coupent, il se décompose en deux faisceaux de rayons. En effet, tout rayon du plan [mn'\ qui passe par A' est un rayon normal.

Si, de plus, L est le point d'intersection de / avec ce plan, et si nous désignons par p celui des rayons normaux qui passe par L, toute droite du plan [//?] qui passe par L est un rayon normal. Mais le plan [//?] contient toujours la droite a, par conséquent un rayon normal de ce plan passera par P. De là il suit que P décrit une surface pendant le déplacement que définissent t et a.

On a ainsi déterminé également la normale à la surface podaire décrite par P. La normale est, en effet, le rayon normal qui passe par P, c'est-à-dire PL. Si T est le point de contact de t avec <b\ les quatre points P, T, L, A' forment un rectangle dont PL est une diagonale.

l88 CHAPITRE III.

k. Imaginons qu'un trièdre trirectangle se déplace de tell« façon que les plans a, (3, y de ses faces restent tangents à uq ellipsoïde fixe.

Soient S le sommet du trièdre, et a=:|Py|, b — \ya[ c zr I a{3 1 les arêtes ; L, M, N seront les points de contact des faces avec Tellipsoïde dans une position quelconque. Nous désignerons encore les normales en. ces points par /, m, /i, et alors tous les points de l'hyperboloïde déterminé par /, m,/i resteront sur des surfaces pour tous les mouvements possibles du système. On peut faire voir que cet hyperboloide passe par S.

Appelons en effet 0' le point de Tespace fixe avec lequel coïncide S. Par 0', on peut mener trois plans tangents rectangulaires à Tellipsoïdc. Le cône circonscrit à ^' dont le sommet est en S a donc une infinité de groupes de plans tangents formant un trièdre trirectangle. Le trièdre pourra donc prendre une infinité de positions telles que son sommet vienne en 0' et que ses faces touchent rellipsoide, c'est-à-dire que nous pourrons faire mouvoir, autour de 0', les trois plans perpendiculaires l'un sur l'autre, de telle façon que chacun d'eux reste tangent à O' ou au cône. Mais lorsqu'une gerbe de rayons se déplace autour d'un^poinl fixe, les plans normaux que l'on peut mener aux plans de cette gerbe, par leurs rayons de contact, se coupent suivant une même droite qui est l'axe instantané de rotation. Si donc, parles rayons de contact des plans tangents au cône, nous menons des plans perpendiculaires sur a, (3, y, ils se couperont tous suivant une droite passant par 0'. Cette droite rencontre donc aussi les trois normales /, m, n, c'est-à-dire que :

Si S est un point d'où Von puisse mener trois plans tangents rectangulaires à un ellipsoïde^ et qu'aux points de contact on mène les normales à cet ellipsoïde, S sera toujours sur l'hyperboloïde que déterminent ces trois normales.

Cela est vrai pour toute position du système : donc S décrit une surface. La normale est la droite passant par S et appa^ tenant au système de rayons déterminé par /, m, n.

La surface décrite par S est une sphère, car soit e' unplao quelconque de l'espace fixe; considérons toutes les positions

MOUVEMENT d'uN SYSTÈME INVARIABLE. 189

du Irièdre pour lesquelles a coïncide avec e', c'est-à-dire imaginons que l'on déplace ce trièdre de telle façon que a coïncide avec e', tandis que (3 et y touchent Tellipsoïde.

Dans ce mouvement, chacun de ces plans enveloppera un cylindre elliptique. En même temps, l'angle formé par les arêtes ^ et c se déplacera dans le plan a = e' de telle façon que b et c restent tangentes à une conique, celle qui résulte de l'intersection de e' avec le cylindre elliptique. Mais alors le sommet de cet angle décrira un cercle et il s'ensuit que tous les points S situés dans s' sont sur un cercle. Ce cercle a d'ailleurs pour centre le centre de la conique; par conséquent le plan normal du cercle que S décrit dans e' passe toujours par le centre de l'ellipsoïde. Cela est vrai pour tout plan e'; il s'ensuit donc bien que le point S décrit une sphère qui a pour centre le centre de l'ellipsoïde.

C'est-à-dire que :

Si un triède trirectangle se déplace de telle façon que ses plans restent tangents à un ellipsoïde fixe, son sommet décrira une sphère qui a pour centre le centre de Vellipsoïde (*).

Accessoirement, on voit encore que la génératrice appartenant au système déterminé par /, m, w, qui passe par S, est la droite qui joint S au centre de l'ellipsoïde.

5. Le mouvement d'une droite consiste à chaque instant, comme il a été montré au commencement du Chapitre, en une rotation autour d'une droite g^- Comme les plans normaux de tous les points de g passent par ^^, les rayons normaux de tous lés points forment un système de rayons qui a ^ et ^^

(*) La démonstration donnée plus ^haut de ce fait, que les points de S situés dans un plan sont sur un cercle, a été considérée comme suffisante pour prouver que S décrit une sphère. Mais cela n'est pas permis, car on voit simplement que pour certaines positions du trièdre, celles pour lesquelles a coïncide avec e', les points S sont sur un cercle. Or il existe encore une infinité d'autres positions du trièdre pour lesquelles S se trouve dans le plan e' et il faut montrer que pour ces positions S est sur le cercle. On Ta fait dans le texte en démontrant que S est situé sur l'hyperboloïde des points qui décrivent des surfaces.

IQO CHAPITRE m.

pour rayons directeurs. Celui-ci est déterminé par quatre normales. Si donc on connaît les rayons normaux de quatre points de gj g^ sera également donné. Il s'ensuit donc que:

Si quatre points d'une droite g sont assujettis à la condition de rester sur des sur/aces fixes, le mouvement de la droite sera complètement déterminé. Chacun de ses points décrira unt courbe, et g elle-même engendrera une sur/ace réglée.

On peut encore considérer la chose à un autre point de vue. En effet, la position d*un système est déterminée, si l'on connaît la position de trois points qui déterminent un plan. Par conséquent, la position d'une droite ne définit pas encore celle du système; et le mouvement de 1 ne sera pas déterminé non plus lorsque Ton connaîtra le mouvement de la droite g. Bien plus, si g exécute un mouvement déterminé, 2» pourra encore se déplacer d'une infinité de manières. Nous obtiendrons un de ces déplacements en obligeant un cinquième point, non situé sur gj à rester sur une surface fixe.

A chacun de ces mouvements se rapporte à chaque inslanl un système focal qui le caractérise; pour tous ces systèmes focaux g et g"* constitueront un couple de droites conjuguées.

Les théorèmes et les constructions qui ont été établis plas haut restent valables pour tous les éléments du système focal ou du système 2 qui concernent g, même lorsque nous considérons isolément le mouvement d'une droite. Nous obtiendrons par exemple la normale au point A de ^ à la surface engendrée par g^ en menant en ce point la perpendiculaireà g qui rencontre g"*, etc.

6. Définissons le mouvement de g en obligeant quatre points A, B, C, D à se mouvoir sur les plans a', (3', y', è'. Et considérons g comme faisant partie d'un système à trois dimensions li dont nous déterminerons le mouvement en obligeant un point E à rester sur une surface ^é. Mais il existe à chaque instant (IX, 5) une surface du troisième ordre F' de 2 dont les points décrivent des trajectoires à plans osculateurs stationnaires, et les droites de 1 sont sur cette surface lorsqu'elles renferment plus de trois pareils points. Or c'est ce qui arrive pour la droite g. Par conséquent, tout point de ^ jouit

de cette propriété que quatre positions successives sont dans le même plan, et, comme cela a lieu à chaque instant, il s'ensuit que :

Si quatre points d'une droite g se déplacent dans des plans fixes, cela a lieu pour chaque point de la droite, c'est-à-dire que chaque point de la droite décrit une courbe plane.

Soient maintenant ^o, ^j, g^ trois positions quelconques, que prend g au cours du mouvement : on a

«'^[AoAiAî], P'=:LBoB,B,],

/=:[CoC,C.],

c'est-à-dire que les plans a', (3', y', . . . sont obtenus au moyen de trois ponctuelles congruentes, et forment par conséquent un faisceau du troisième ordre.

Le faisceau de plans engendré par g^^ g^, g^ contient le plan de rinfîni, car les points à l'infini de ^o» gu gt sont des points correspondants. Considérons le système de rayons qui lui est associé; on verra de la même façon qu'au paragraphe VII, 1, que nous pouvons représenter ce système au moyen d'une gerbe 0' de telle façon qu'à chaque rayon de la gerbe corresponde le rayon parallèle du système, et qu'ainsi aux droites g^y g\y gi correspondront les droites g'^j g\, g\ de la gerbe 0'.

Soit maintenant x^ l'axe du cône de révolution qui passe V^"^ g'oy g'iy gi c'est-à-dire le rayon de 0' qui fait des angles égaux avec g^, g[, g'^, le rayon correspondant x du système de rayons sera aussi également incliné sur go, gi, g^.

Si £ est un plan quelconque du faisceau, si s est un rayon quelconque du système de rayons, et E^ le point d'intersection de e et de 5, nous pourrons rapporter la ponctuelle A^, B,, C,, ... sur s'y en A^, B^, Q, de telle façon que le point E, de s corresponde au point 0' de s' , Alors on démontrera que tous les points A^ qui correspondent aux points A, du plan a sont dans un plan a'. On pourra le faire de la manière suivante : soit gz une droite quelconque de e, les rayons s qui rencontrent g^ forment en général les génératrices d'un pa-

iga CHAPITRE III.

raboloïde. Les rayons correspondants 5' de 0' forment un faisceau de rayons dont le plan est parallèle au plan directeur du système de génératrices. Le paraboloide coupe chaque plaça suivant la droite ^a qui correspond à g^. Projetons maintenant les rayons s du paraboloïde sur un plan quelconque parallèle au plan directeur, en prenant comme centre de projection le point à Tinfini sur ^e; nous obtenons un faisceau de rayons sf qui est projectivement égal au faisceau s'. Les plans projetants sont parallèles entre eux et, pour chaque rayons, la ponctuelle qu'il contient est congruente à sa projection/, qui, par conséquent, est égale à la ponctuelle s\ Ainsi le faisceau 5" et les ponctuelles qu'il renferme sont respectivement congruents au faisceau s' et aux ponctuelles de ce faisceau; et de plus le plan des rayons^'' est parallèle au plan des rayons s'.

A tous les points d'une droite ^adu paraboloïde correspondent les points d'une droite gl,\ donc dans 0' on aura également une droite g'a,. Toutes ces droites ^J, ^p, . . . sont parallèles entre elles; la même chose a donc lieu aussi pour les droites correspondantes ^a» g'^y • • • de la gerbe 0'. Donc, non seulement il correspond à tout point A^ du plan a uo point déterminé A^ dans la gerbe 0', mais à tous les points d'une droite ^a correspondent les points d'une droite ga, c'està-dire qu'aux points d'un plan a correspondent les points d'un plan a', et comme à tout point à l'infini sur a correspond un point à l'infini sur a', a et a' seront deux systèmes plans en affinité collinéaire.

Comme toutes les droites ^i, g'a^ . . . sont parallèles entre elles, il s'ensuit encore que les plans a', P' sont tous parallèles.

Les plans a', P', ... sont [perpendiculaires sur le rayons' de la gerbe. Car, soient E^, Ei, E, les points de ^o> g\y §i ^J" tués dans s, on a

EqAo^^ EiAirz::EjA2

et par conséquent

Donc le plan a'=(AoAi A',) est en effet perpendiculaire sur œ\

MOUVEXENT d'uN SYSTÈME INYARIABLE. IqS

Enfin on voit qu'à toutes les positions que prend la droite^ au cours du mouvement, correspondent dans 0' les génératrices du cône de révolution déterminé par ^o, g\^ g\. Car soit gi la position de la droite^ à un moment quelconque, gt sera la droite de jonction des points E,- et A,-; par conséquent, g'i est la ligne de jonction de 0' et A,-. Or

0' Ai = o'a; = o'a; = o'a;,

et A'/Ost dans le plan a'; donc O'A'^ =i=^i est une génératrice du cône de révolution.

Nous pouvons maintenant énoncer les conclusions auxquelles nous étions parvenu au paragraphe VII pour le système de rayons, et nous arrivons au ihéorème suivant :

Si une droite se meut de telle façon que quatre de ses points restent dans des plans fixes, tout point de la droite se déplace dans un plan et décrit une ellipse. Tous ces plans forment un faisceau de plans du troisième ordre, qui constitue l'ensemble des plans osculateurs à une parabole cubique. Les centres des ellipses sont surunedroite; celle-^i est perpendiculaire au plan qui contient l'asymptote de la parabole cubique, La droite g elle-même décrit une surface du quatrième ordre; toutes les génératrices de la surface font des angles égaux avec l'axe sur lequel sont les centres des ellipses (*).

Les centres des ellipses sont les points homologues des plans en affinité du faisceau, qui ont entre eux la distance minimum.

7. Si la droite g est telle que trois de ses points A, B, C se meuvent dans trois plans fixes a, (3, y, tout autre point D de cette droite décrira un ellipsoïde. Car des théorèmes précédents il ressort que toutes les positions que le point D peut prendre dans un plan quelconque à de l'espace sont sur une ellipse.

( * ) Mannheïm, Sur les trajectoires des points d'une droite mobile dans l'espace {Comptes rendus, t. LXXVI, p. 635).

La représentation sur la gerbe fut donnée par Halphen, Bulletin de la Société mathématique de France, t. I, p. x 14.

Considérons g comme faisant partie d'un système à trois dimensions 2, et déterminons encore le mouvement de telle sorte qu'un quatrième point £ de Z reste sur une surface quelconque, D décrira toujours Tellipsoïde. Mais, comme ^est maintenant une droite de 2, les normales aux surfaces décrites par tous les points de g formeront un hyperboloïde, c'està-dire que les normales aux points A, B, C, D sont sur un hyperboloïde.

Considérons une des positions de g pour laquelle le point D vient dans un des plans a, (3, y, par exemple dans le plana.

Comme A est toujours dans a, g sera tout entière dans ce plan; par conséquent, il faut que B soit un point de la droite I a (3 1 et C un point de | a y |. Nous obtiendrons donc toutes les positions de ^ pour lesquelles D est dans a, en déplaçant ^de telle façon que B se meuve sur | a (3 1 et C sur | a y |.

Mais alors D décrit une ellipse dont le centre est au point d'intersection des trois plans a, (3, y. La même chose a lieu pour les plans (3 et y, d'où il suit que le sommet du Irièdre formé par les plans a, (3, y est le centre de l'ellipsoïde, c'està-dire que :

Si une droite se meut de telle façon que trois de ses points restent dans trois plans fixes, tout autre point de la droite décrira un ellipsoïde dont le centre est le point d'intersection des plans fixes. Les normales à tous les ellipsoïdes forment à chaque instant un hyperboloïde (*).

Si en particulier les plans a, j3, y sont perpendiculaires entre eux, ils constituent les plans principaux de tous les ellipsoïdes; car alors l'ellipse située dans un quelconque des trois plans a pour axes les droites d'intersection du plan avec les deux autres, et les longueurs des axes, seront DA, DB,DC.

8. Considérons encore trois plans quelconques a, j3, y. Le lieu de D est dans chaque plan passant par D une ellipse, intersection du plan avec l'ellipsoïde.

Parmi ces plans, il en existe un d qui est tangent à l'ellip-

(*) Ce théorème est dû à Dupin {Journal de l'École Polytechnique) cahier 14, p. 6o).

MOUVEMENT d'uN SYSTÈME INYARIABLE. igS

soïde. Si donc nous déterminons le mouvement de g de telle façon que les quatre points A, B, C, D restent dans a, (3, y, ô, le mouvement de la droite sera impossible. Dans ce cas les normales élevées en A, B, G, D sur a, (3, y, ô sont sur un hyperboloïde, tandis que cela n'a pas lieu dans tous les autres cas. Il s'ensuit donc que :

Si quatre points A, B, C, D d'une droite doivent se mouvoir dans quatre plans fixes a, (3, y, â et si les normales aux plans élevées aux points A, B, C, D sont sur un hyperboloïde, le mouvement est impossible (*).

La droite g est alors le rayon du système du troisième ordre dont il vient d'être question, qui rencontre les plans du faisceau de plans qui lui est associé aux points dont la distance mutuelle est minimum.

XIV. — Sur le déplacement d'un système invariable, dans le cas où les surfaces des axes sont cylindriques (').

Le déplacement d'un système invariable dans le cas où les surfaces des axes sont cylindriques n'a pas encore été étudié spécialement. Cependant, et l'on devait s'y attendre, étant donnée la nature particulière du mouvement, il est caractérisé par une forme remarquablement simple des lois du déplacement.

En particulier, on mentionnera ici ce fait, qu'il se présente alors une analogie toute spéciale avec les lois du déplacement plan, analogie qui ne se manifeste pas lors d'un mouvement tout à fait général. Et, en eflfet, aux théorèmes relatifs au cercle des inflexions de Bresse, et aux points à courbure stationnaire, correspondent des théorèmes tout à fait analogues sur les points dont les trajectoires ont des plans tangents d'inflexion et des sphères osculatrices stationnaires.

On connaît déjà un cas particulier du déplacement que nous avons en vue. C'est en même temps le seul mode de déplace-

( * ) Halphen, Bulletin de la Société mathématique de France, t. VIII, p. i8. ( ' ) Traduction d'un Mémoire de l'auteur inséré aux Math. Annalen, t. XL..

ment dans l'espace qui ait été jusqu'ici Tobjel d'une étude approfondie. On le définit par cette propriété que tout point décrit une courbe plane, ou, si Ton passe au mouvement inverse, que chaque plan passe par un point fixe. C'est M. Darboux (*) qui, le premier, montra l'existence de ce déplacement remarquable.

Dernièrement il a été étudié plus complètement par M. Mannheim (*).

Les surfaces des axes sont deux cylindres circulaires; leurs cercles de base sont identiques avec les courbes polaires du mouvement plan où chaque point décrit une ellipse.

C'est ce déplacement qui a donné lieu aux considérations suivantes.

Je fais encore remarquer que les théorèmes généraux auxquels on arrivera par la suite nous fourniront un moyen de réaliser mécaniquement le mouvement en question, procédé qui n'était pas connu encore. Car, si un triangle se déplace parallèlement à son plan, de telle façon que ses trois sommets restent sur trois plans fixes, tout point invariablement lié au triangle décrit une ellipse. Par le mouvement inverse on a un théorème correspondant à celui-ci par voie de dualité.

Je commence par donner les relations générales qui lient les points mobiles aux plans osculateurs instantanés de leurs trajectoires; puis j'en déduis les théorèmes relatifs aux points qui jouissent d'une propriété stationnaire. Enfin je termine par un exposé simple du cas particulier dont j'ai fait mention.

A. La correspondance cubique entre les points et les plans