OSCULATEURS DE LEURS TRAJECTOIRES

1. Soient c et d les courbes polaires d'un déplacement plan; soit de plus Cp la trajectoire décrite par le point P du plan mobile t,

(») Sur le mouvement d'une figure invariable {Comptes rendus, t. XCII, p. 118).

(») Étude d'un déplacement particulier etc. {Rendiconti ctel cire, mat. di Palermo, t. III, p. i3i) et Déplacement d'une figure invariable ( Journal de l'École Polytechnique, Cahier LX ) .

MOUYEMENT d'uN SYSTÈME INVARIABLE. I97

Nous désignerons les surfaces cylindriques dont les bases sont respectivement c, c', Cp, et dont les génératrices sont perpendiculaires sur £, par C, C', €p, respectivement. La génératrice de la surface €p qui passe par P sera désignée par/?, de sorte que, pour tout déplacement qui admet comme surfaces des axes les cylindres € et C, la droite/? décrira la surface €p.

Si Ton se donne une seconde surface F^ sur laquelle devra toujours rester le point P, la courbe décrite par ce point, et par suite le mode de déplacement lui-même se trouveront déterminés.

Le mouvement consiste en un roulement et un glissement du cylindre € sur €', et la grandeur du glissement dépend de la surface Fp. Tous les points de p décrivent la même courbe; pour étudier le déplacement, il suffira donc en général de considérer les points d'un plan ti perpendiculaire à la direction de Taxe.

Le mouvement dans l'espace de 2 et le mouvement plan de e sont connexes en ce sens, qu'à chaque position de 2 correspond une position déterminée de e, et réciproquement. Le plan f\ qui servira à caractériser le mouvement de 2 sera considéré comme coïncidant avec £; seulement il faudra à chaque fois spécifier si, pour un point P de ce plan, on considère son mouvement dans l'espace ou son déplacement dans le plan e. C'est pourquoi nous continuerons à nous servir de la double notation s, yi.

2. Il sera avantageux de commencer par quelques mots sur le déplacement du plan de Tinfini s». Ce plan, quel que soit le genre de déplacement de 2, se meut sur lui-même. Mais, dans le cas qui nous occupe, trois de ses points restent fixes pendant toute la durée du déplacement; à savoir, le point Z« à l'infini sur la direction de l'axe, et les points cycliques I« et J«, de la droite à l'infini de yi. Les droites que déterminent ces trois points sont donc fixes aussi; nous les désignerons par A«, i»yj», A» étant la droite à l'infini du plan yi.

Le déplacement du plan à l'infini est donc ^ dans le sens non euclidien, une rotation autour de Z». Tout point de e» décrit une section conique ou, en parlant le langage non euclidien.

igS CHAPITRE III.

un cercle dont le centre est en Z,. Pour les points des droites /'-> «-,y«), ces cercles deviennent ces droites elles-mêmes (*).

Le mode de mouvement considéré est complètement caractérisé par le déplacement du plan e« tel qu'il vient d'être indiqué,

3. Soient Po, Pi, Pj trois positions d'un point quelconque de l'espace mobile 2, le plan tt' qu'elles déterminent est le plan de 1' qui, lors d'un déplacement continu, deviendra le plan osculateur instantané de la trajectoire. Entre les points P et les plans tt', il existe une correspondance cubique réversible et univoque; elle est un cas particulier de celle qui a été étudiée en détail par Nôther et Cremona.

On sait que la courbe fondamentale du sixième ordre de 2, aux points de laquelle correspond dans 1 une droite ou un faisceau de plans, se décompose pour un déplacement quelconque de 2 en deux courbes du troisième ordre, dont l'une est contenue dans le plan de l'infini, pendant que l'autre est la courbe gauche c', connue sous le nom de courbe des inflexions. Dans les cas spéciaux du déplacement que nous étudions ici, la courbe à l'infini se décompose, comme nous l'avons vu plus haut, pour donner les trois droites h^^i^j*) pendant que la courbe gauche c' dégénère également et donne trois droites passant par Z«.

Mais de ces droites, une seule reste à distance finie, les autres coïncident avec i« ety«. Nous désignerons la première de ces droites par sv^ et nous l'appellerons droite des inflexions.

Il s'ensuit que :

La courbe fondamentale du sixième ordre de 2 se réduit i la droite des inflexions w^ à la droite de V infini fi^j qui es perpendiculaire à w, et aux deux droites comptées double ment i» etj\

as •

Par ce théorème on caractérise complètement la nature d» la correspondance cubique.

(•) Voir F. Klein, Ueber die sogenannte nicht-euklidische Geometri (Math. Annalen, t. IV, p. 6oi).

MOUVEMENT d'uN SYSTÈME INVARIABLE. 199

4. Les formes géométriques qui se correspondent dans les deux espaces sont, conformément à la nature spéciale de la courbe fondamentale, d'un caractère particulièrement simple. Sans entrer dans de grands développements, remarquons que le faisceau de plans E' de 2', qui correspond à une droite g de 2, et la courbe gauche r^ de 2 qui est adjointe à une droite g^ de 2', sont déjà connus.

Le faisceau E^ a été étudié par Halphen (*) et par Tauteur.

En ce qui concerne la courbe r% elle est un cas particulier de la courbe du troisième ordre, sur laquelle M. Hurwitz a appelé dernièrement Tattenlion ('). Soient en effet ^q, g\^ g\ trois positions de g^ dans le mouvement inverse, la courbe r^ résultera de l'intersection de trois faisceaux congruents de plans dont les axes sont g'^, g\^ g'^. Elle est donc l'intersection commune des trois hyperboloïdes orthogonaux engendrés par les trois faisceaux pris deux à deux. Or sur chacun de ces hyperboloïdes se trouve une droite u qui est parallèle à l'axe du mouvement hélicoïdal et perpendiculaire sur une direction de sections circulaires. Dans le cas qui nous intéresse, les trois axes du mouvement hélicoïdal sont parallèles ; c'est pourquoi les trois hyberboloïdes ont une direction commune de sections circulaires, et dans chacun des plans de section les cercles se coupent en un point R de r% ainsi qu'aux points cycliques. La courbe r* est donc située sur un hyperboloïde de révolution dont l'axe est parallèle à l'axe du mouvement hélicoïdal; elle est, par suite, un cas particulier de la famille de courbes étudiée par M. Hurwitz. Son point réel à l'infini est le point à l'infini sur les axes du mouvement hélicoïdal.

5. A un plan quelconque de 2 correspond en général dans l'espace 2' une surface du troisième ordre. En particulier, lorsque le plan est perpendiculaire à la direction de l'axe, il contient les points !« et J«. C'est pourquoi la surface du troi-

( ») Sur le mouvement d*une droite {Bull, de la Soc, math, de France, t. I, p. ii4).

(») Ueber eine besondere Raumcurve 3. Ordnung {Math Annalen, t. XXX, p. 291).

sième ordre se décompose alors en trois gerbes de plans; deux d'entre elles ont respectivement I« et J«, pour sommet. Nous désignerons par S' le sommet de la troisième gerbe et nous arrivons au résultat suivant :

Les plans osculateurs aux trajectoires des points dan plan Y} perpendiculaire à la direction de V axe se coupent tous en un même point S'.

La projection sur £ d'un point quelconque P de 2 décrit dans e la trajectoire correspondant au roulement de la courbe

c sur c'. Soit maintenant {Jlg, 20)

^. ^'^* ^°* W le point du plan n qui appar-

Y\;^-^~p:A^.^^^ tient à la droite des inflexions w,

s/\ la projection sur £ de Wo, Wi,W,

'-Ov\* sera une droite. Le point Wo est ^L donc un point du cercle des iny^ j flexions de £, correspondant aux y trois positions £©, £1, £j. Mais, d'après ^ des propriétés connues du mouve-

ment plan, la droite qui renferme les trois positions considérées du point W de £ passe par un point déterminé du cercle des inflexions, le pôle des inflexions S. De là il suit que la droite Wo WiWj rencontre la normale s élevée en S sur £. Donc :

Le point S' où concourent les plans osculateurs tt' de tous les points Pdef) est le point d'intersection de la droite Wo Wi Wi avec la normale s au plan t menée par le pôle des inflexions S.

6. La gerbe S' de plans tt' et les points P de m sont en situation perspective en ce sens que tout plan tz' passe par le point P qui lui correspond. Mais la correspondance entre les deux formes n'est pas, et nous allons le faire voir, du premier ordre ; elle est quadratique. Pour simplifier l'exposition nous transporterons les dénominations de pôle des inflexions et de cercle des inflexions du plan £ au plan yî.

Soit maintenant E' le faisceau de plans du troisième ordre de là auquel correspond une droite quelconque g de 2 (*)»

(*) Mannheim a cru, pour le déplacement spécial qu'il considère, que le

tout point d'intersection de g avec une des droites w et A«, réduit d'une unité Tordre de E\ A une droite g quelconque située sur yj correspond donc un cône de deuxième classe dont le sommet est évidemment en S', et il s'ensuit effectivement que :

La gerhe de plans S' et les points V de f] sont en correspondance quadratique.

Les points principaux de yj sont W, J«o et I«. A chaque faisceau de plans de S' correspond donc sur yj un cercle. Mais pour tout plan tt' passant par s la projection sur s des points Pq, Pi, P2 qu'il contient est une droite ; donc au faisceau de plans dont Vaxe est s correspond le cercle des inflexions de f\ ou £. En se basant sur ce résultat, il est facile de déterminer le cercle de r\ correspondant à un faisceau quelconque de la gerbe S'. Il passe en effet par W, par le point A où Yî est coupé par l'axe du faisceau et enfin par le point L du cercle des inflexions qui est en même temps sur la droite SA.

Les plans principaux de S' forment le trièdre déterminé par les droites S'W, S'I» et S'J«. L'unique face réelle est parallèle à yj. Elle correspond à tout point de la droite /t«o de Yî et nous le désignerons par a'. Le cône de la seconde classe qui correspond à une droite quelconque ^ de yî se réduit au cas où g passe par W à un faisceau de plans du premier ordre. Soit encore L le point du cercle des inflexions qui est situé sur gy le plan V qui contient L et 5 est le plan correspondant au point L; Taxe a' du faisceau de plans qui correspond à g est donc la droite d'intersection de V et o-'.

Les axes a' des faisceaux de plans correspondant à toutes les droites passant par ^ forment donc un faisceau de rayons égal à celui formé par les droites g.

D'après cela, on peut facilement construire le plan tt' correspondant à un point quelconque de yj. Menez la droite PW, par son point d'intjersection L, avec le cercle des inflexions et par S menez également une droite; la parallèle à cette der-

faisceau E' est un cône de deuxième classe. Il a démontré seulement que £* possède un cône asymptotique de deuxième classe.

nière qui passe par S' est Taxe du faisceau auquel appartient tt'. Le plan mené par cette droite et le point P est osculateur à la trajectoire de P (*).

Pour faire une application, déterminons le cône x' qui correspond à une droite quelconque ^ [de yî. A cet effet imaginons la droite g projetée de W, et coupons ce faisceau de rayons par le cercle des inflexions de yî. Maintenant nous construisons le faisceau dont le centre est en S et dont les rayons coupent les précédents sur le cercle des inflexions. Soient /?w et/?, les rayons qui correspondent à un point P de g. Menons par S' le rayon />i parallèle à/?,, le plan déterminé par p's et P est le plan tt'. C'est pourquoi le faisceau de rayons engendré par p's nous donnera avec la ponctuelle^ qui lui est projective le cône demandé. Mentionnons encore ce fait, que les résultats précédents s'appliquent à chacun des deux systèmes de V espace,

B. Les points qui présentent une propriété stationnaire.

7. Lorsqu'un système se déplace d'une manière quelconque dans l'espace, il existe à chaque instant certains points qui décrivent des éléments de trajectoire dont les propriétés sont stationnaires. Les points i^o\iv\Q^(\\ié\s\9i tangente est stationnaire, en faisant toujours abstraction des points à l'infini, forment la courbe des inflexions c' ; les points à plan osculateur stationnaire sont sur une surface du troisième ordre F', enfln, les points à axe de courbure et à sphère osculatrice stationnaires sont sur une courbe k^ et une surface F*. Il s'agit de voir comment se modifient ces surfaces et ces courbes dans le mouvement étudié ici;

Nous avons déjà vu que la courbe des inflexions c^ se décompose en trois droites, dont l'une w qui est toujours réelle reste à distance finie, tandis que les deux autres sont rejelées à l'infini. Les droites w engendrent pendant la durée du mouvement une surface que nous désignerons par tjj) et que nous nommerons la surface des inflexions.

(*) Gomme conséquence des résultats précédents, il est facile d'établir les formules qui relient les points P aux plans 7c\

MOUVEMENT D*UN SYSTÈME INVARIABLE. 2oS

Pour trouver les points à plan oscillateur stationnairey nous partirons de quatre positions du système, 2o, 2i, ^s, ^s* Le plan Pq Pi Pj qui correspond au point P sera désigné par tu' comme plus haut. Enfm désignons par %" le plan PiPjPa, nous chercherons pour quels points les plans tt' et iz" sont identiques. Or, pour tous les points P de tq les plans tt' forment une gerbe dont le sommet est en S'; de même, les plans tz" formeront une gerbe ayant son sommet en S".

Les points cherchés sont donc ceux pour lesquels les plans TT passent par S' et S''. Or, au faisceau de plans dont Taxe est S' S" correspond sur yî un cercle qui passe par le point d'intersection A de S'S^'avec m ainsi que par W© et V^, en désignant par V le point pour lequel Vi,V2, V., sont en ligne droite (^). Désignons ce cercle par e, et passons au cas d'un déplacement continu. Nous aurons ce résultat :

Les points dont les trajectoires ont des plans oscillateurs stationnaires forment à chaque instant un cylindre circulaire^ qui est tangent à la surface des inflexions "^ le long de la droite instantanée des inflexions. Les plans osculateurs euxmêmes forment un faisceau du premier ordre pour tous les points d^ une section normale au cylindre.

Nous désignerons ce cylindre par C. Pour le mouvement plan du plan s sur lui-même, il existe à chaque instant un point dont la trajectoire possède un point d'ondulation; c'est le point où le cercle instantané des inflexions touche son enveloppe. Il est clair que le cylindre C renferme une droite passant par ce point.

Considérons encore une cinquième position ^4, il existera encore un cylindre C^ correspondant aux quatre positions 2i, £2, ^3, £4. Il contient la droite w qui a été mentionnée plus haut; son intersection avec C se compose donc en outre d'une droite /dont chaque point reste dans le même plan pour les cinq positions du système. Donc :

// existe \à chaque instant une droite dont les points ont

(*) Sur ce cercle se trouvent aussi les points T et U pour lesquels U„, U,^ U„ et T,, T„ T, sont en ligne droite.

ao4 CHAPITRB III.

avec les plans osculateurs de leurs trajectoires un contact du quatrième ordre.

L'enveloppe de tous les cylindres circulaires C se décompose en deux surfaces cylindriques de significations géométriques différentes.

Vune d'elles se compose des droites des infl^œions, Vauin contient les points dont la trajectoire a un contact du quatrième ordre avec son plan osculateur,

8. Pour étudier les points à cercle de courbure stationnaire ou à axe de courbure stationnaire^ nous considérerons encore trois positions quelconques Iq^ ^i» ^s* Au moment où le système occupe chacune de ces positions, chaque point a un plan normal déterminé; nous désignerons ces plans par tt^, tt^, ttî- Or nous savons que tous les points de 2 forment à chaque instant un système focal avec leurs plans normaux; c'est pourquoi les plans normaux tt^, tt^, tt^ de tous les points de 1\ forment trois gerbes collinéaires, et trois plans correspondants qui se coupent suivant la même droite fournissent l'axe de courbure stationnaire d'un point P de ri. Or il existe six pareils groupes de trois plans, et six points de tq à axe stationnaire. Dans le cas présent, trois sont à l'infini ; car les plans normaux de la droite à l'infini h^ de f\ forment un faisceau de plans dont Taxe h^ est l'axe instantané du déplacement; c'est pourquoi les axes A^, h\. h\ sont parallèles. Donc il ne reste que trois points de l'espèce considérée situés à distance finie et :

En général, il existe à chaque instant trois droites situées à distance finie, dont les points possèdent un axe de courbure stationnaire.

Nous désignerons ces droites par k, /, m.

Soient maintenant ^o>2i,2„ ia quatre positions du système; les points P dont les plans normaux tt^J, tt^, tt^, tt^ se coupent au même point seront, pour des positions infiniment voisines du système, des points à sphère osculatrice stationnaire.

Si g est une droite quelconque de m, et que ^o> ^i> S^vë) soient les axes des faisceaux correspondants de plans normaux, il existe, comme on sait, quatre points de g dont les

MOUVEMENT D'uN SYSTÈME INVARIABLE. 2o5

quatre plans normaux se coupent en un même point. Parmi eux se trouve toujours le point à Tinfîni de gy car ses quatre plans normaux sont tous parallèles à la direction de Taxe. Les points I« et J» satisfont aussi à la condition. Donc :

Les points dont la trajectoire a une sphère osculatrice stationnaire forment à chaque instant une surface cylindrique du troisième ordre 2>C' qui contient les droites i» etj^.

Sur cette surface se trouvent aussi les droites k, l, m ainsi que la droite/. Ces quatre droites forment avec i» et y» Tintersection complète de S)C* et de C. Enfin, les droites /tj, /,, /w, sont aussi sur X'.

Ajoutons aux quatre positions une cinquième 2*, nous obtiendrons une seconde surface ^\ ; elle coupe ^' suivant neuf droites, parmi lesquelles se trouvent i^^^j» ainsi que k^, II, m^.

Les quatre autres droites d'intersection fournissent des points dont la trajectoire a un contact du cinquième ordre avec sa sphère osculatrice. Donc :

A chaque instant il existe, en général^ quatre droites lieu des points dont les trajectoires ont avec leur sphère osculatrice un contact du cinquième ordre.

L'enveloppe des surfaces DC* se décompose en deux surfaces cylindriques, U une contient les points pour lesquels la sphère osculatrice à la trajectoire a un contact du cinquième ordre avec cette courbe^ Vautre se compose des points à cercle de courbure stationnaire,

9. Des théorèmes précédents on peut, d'une manière que Ton connaît, déduire une série de conséquences pour le mouvement inverse du système 2', et tous ces résultats s'appliquent indistinctement au mouvement direct et au mouvement inverse. Les surfaces et les courbes ainsi mises en évidence ont entre elles, comme Ta fait voir l'auteur (*), des relations réciproques simples.

Nous allons maintenant faire ressortir d'une manière plus

(*) Comptes rendus, t. CI, p. i5o.

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détaillée Tanalogie dont nous avons parlé et qui existe entre les théorèmes précédents et ceux relatifs au mouvement plan.