Les deux courbes passent aussi par les points cycliques

Pour le démontrer, nous procéderons de la façon suivante :

Nous avons vu que, si ^ est une droite quelconque de o-, dans chacune des relations quadratiques dont il a été question plus haut, il correspondra à cette droite une section conique, et que les points d'intersection différents de Oj, sont des points de AJ3. Si, en particulier, nous considérons la droite de l'infini de o-, il lui correspondra, pour les positions o-o,(7i,o-2, le ceicle des inflexions iP^ia et, pour les positions o'i>o"2)0-3j le cercle des inflexions ^y\^^. Les deux cercles se coupent en dehors de O12 en un point situé à dislance finie, et en deux points imaginaires situés à l'infini, points qui sont

.MOLVEMEM' 1)"l> SYSTÈME PLA> DA>S S0> PLA>. i I

communs à tous les cercles du plan. Ces points sont donc des points de AJ3, et la même chose a lieu pour XJ3. Finalement on en conclut que :

■Si (To, Cl, (j-2, 0-3 sont quatre positions quelconques du système plan (7, il existe une infinité de points A pour lesquels les quatre positions Ao, Ai, Ao, A3 appartiennent à un même cercle. Ils forment une courbe du troisième ordre k\^ qui passe par les six centres de rotation Ooi, O02, Oo3,Oi2,Oi3, O23 elles points circulaires de V infini. Les centres de ces cercles forment une courbe du troisième ordre k\'^ située dans a\ qui passe par les six centres du mouvement inverse et les points circulaires de l'infini. Dans V inversion du mouvement les deux courbes échangent leur signification (*).

Soit W le point d'intersection réel des cercles des inflexions ''012 6t <ï'i23, différent de 0\^. On vient de démontrer que W est sur A ^3. Le point W^ qui lui correspond sur la courbe /.J3 est à l'infini, et c'est le seul point à l'infini de kl^. J)e même les cercles des inflexions wp'oi2 et «'123 se coupent en un point V de AJ3, auquel correspond sur AJ, un point à l'infini V^. Les trois rayons normaux de V se coupent donc en V^, c'est-à-dire que Vo,Vi,V2,V3 sont en ligne droite, et la môme chose a lieu pour les points WJ,, Wj, Wg, W^. Nous retrouvons donc pour les points V et W les propriétés dont nous avions déjà démontré l'existence en nous plaçant à un autre point de vue (III, 7). Pour les points cycliques, communs aux courbes A^3 et AJ3, nous sommes obligé de conclure qu'ils se correspondent à eux-mêmes et que, par conséquent, chacun d'eux coïncide avec le centre de son cercle de courbure. Ces points devront donc être considérés comme fixes dans n'importe quel déplacement d'un système plan dans son plan.

Si donc (7/ et a/,, sont deux positions complètement arbitraires du système plan a, les points cycliques et le centre

(') Burmester a démontré Texistence des courbes k^^ et k'^^ {Civilingenieur, t. XXIII, p. a^i). Pour les propriétés spéciales de ces courbes qui contiennent les points cycliques, voir par exemple Sghroter, Math. Aniialen, t. V, p. 5o et t VI, p. 85, ou Durege, Math. Annalen, t. V, p. 83.

de rotation Oa- sont les trois points unis des systèmes pians en collinéation. Nous devons considérer comme droites unies, en dehors de la droite de l'infini, les droites qui joignent le centre de rotation aux points imaginaires de l'infini.

4. Après avoir montré l'existence de la courbe kl^, il est naturel de lui adjoindre la courbe AJ^ qui répond aux quatre positions «Ji, 0-2, «73, (74. Les deux courbes ont en communies points cycliques et, en outre, les centres de rotation O23, O31, O12 ; par conséquent, elles se couperont encore, en général, en quatre autres points. Chacun de ces points jouit de la propriété que,, pour lui, les cinq positions Ao, Ai, Ag, A3, A4 appartiennent à un même cercle. Cela n'a pas lieu, en général, pour les points 023,031, O12. Nous arrivons donc au résultat suivant:

Si (Jo, a"i, C72, (Ta, (74 sont cinq positions quelconques du système plan (7, il existe, en général, quatre points A pour lesquels Ao, Al, A2, A3, A4 sont sur un même cercle. Les centres de ces cercles sont les points analogues de g' pour le mouvement indirect et inversement (^).

5. Rapprochons indéfiniment les positions o-o,(7i,a'2, choisies arbitrairement, et nous obtiendrons encore des théorèmes que l'on peut énoncer à chaque instant du mouvement d'un système.

Toutefois, il est nécessaire de soumettre à une étude spéciale la question de savoir quels sont les caractères spéciaux que la coïncidence des points Ooi, 0,9 avec le centre instantané 0 confère à la courbe k.^.

Comme la courbe A-qs contient les points Ooi,0i2, la courbe k^y qui prend naissance quand le mouvement est continu, sera tangente à la courbe polaire au point 0. Mais il s'agit de savoir de quelle nature est ce contact. Pour cela, revenons encore à des positions distinctes du système, et considérons une droite Iq de cto qui soit telle que l^ passe pai' O12. Alors la droite 4 passera aussi par le point O^, ainsi que /'"• Considérons un point quelconque A de /, et déterminons les rayons normaux al,a\,a\.

(') Voir BuRMESTER, Civilingenieur, t. XXIII, p. Sig.

MOUVEMENT u'UN SYSTÈME PLAN DANS SON PLAN. f\^

Les premiers se coupent en A', qui est le centre de courbure de A, pour les positions o-o, 0-1,(72; de même, a] et a^ se coupent en A" qui est le centre de courbure de A pour les positions ffi, (72,0-3. Les deux points sont sur a^{. Mais, étant donnée la position spéciale de l, la droite a'( est identique avec /'", et cela a lieu pour tout point de /.

Si donc le point A se meut sur la droite /, les points A! et A" décriront sur /'" deux séries projectives, et les points unis de ces séries sont des points de a' qui appartiennent à la courbe k^'.

Ces deux points seront, dans le cas général, différents de O12, car les points Ooi et O23 qui déterminent la correspondance des systèmes, et, par suite, la relation de projectivité entre les deux séries, peuvent toujours être choisis arbitrairement.

Ce qui vient d'être dit ne subit pas de changement, si l'on passe à des positions consécutives. Dans ce cas, les séries ponctuelles, formées par A, A', A", sont toutes sur une même droite /. De plus, dans la relation projeclive existant entre A et A', le point 0 se correspond à lui-même, et de même pour la projectivité existant entre A et A'^; donc aussi pour les séries A' et A".

Le mouvement étant continu, un point double des séries viendra en 0, c'est-à-dire qu'un nouveau point de la courbe /co3 vient en 0 ; ce point eût été différent du centre de rotation pour un déplacement fini. Le point 0' est donc un point double de la courbe A^ Mais cette courbe passe par les points circulaires de l'infini, et l'on sait que, pour ces courbes, les tangentes au point double sont perpendiculaires l'une sur l'autre ('). L'une de ces tangentes étant la tangente à la courbe polaire, l'autre est la normale. Nous arrivons au résultat suivant :

Si un système plan <j se meut dans son plan, il existe à chaque instant une courbe du troisième ordre k^ dont les points décrivent des trajectoires ayant à ce moment un cercle de courbure stationnaire. Les centres de ces cercles forment

( ' ) Voir, par exemple, Schroter, Ueber Curven dritter Ordnung {Math. Annal.., t. YI, p. 85).

une courbe k^' située dans le plan fixe a', et cette courbe est aussi du troisième ordre, et passe par les points cycliques du plan. Chacune de ces courbes possède au centre instantané de rotation un point double; les tangentes au point double sont la tangente et la normale aux courbes polaires. Dans le mouvement inverse, les deux courbes échangent leur signification. Si un système plan g se déplace dans son plan, il y a, à chaque instant, et en général, quatre points tels que les cercles osculateurs de leurs trajectoires aient un contact du quatrième ordre avec les courbes. Les centres de ces cercles sont les points analogues du plan fixe g' pour le mouvement indirect et inversement.

6. Pour appliquer les théorèmes précédents à un exemple, nous considérerons le cas déjà étudié au paragraphe précédent au n*' 6 {a).

Nous avions démontré que le cercle des indexions est un cercle de grandeur constante. Chacun de ses points décrit une droite et, par conséquent, appartient à chaque instant à la courbe k^. Il faut donc que celle-ci se décompose et nous donne le cercle et une droite u. Mais le centre du cercle des inflexions se déplace sur un cercle; il fait donc partie de A'* et, comme il n'est pas sur le cercle des inflexions, u passe par M. Il s'ensuit qu'à chaque instant les points qui passent par un sommet de leur ellipse trajectoire sont sur une droite passant par M. La droite u est donc toujours un diamètre du cercle des inflexions. Si nous considérons celui qui est perpendiculaire sur la tangente à la courbe polaire, les extrémités de ce diamètre devront être considérées comme des points qui passent par un sommet de leurs ellipses. Donc la droite u est la normale commune aux courbes polaires.

11 est à peine nécessaire de faire remarquer que ceci est une conséquence du théorème qui vient d'être démontré, et d'après lequel la courbe k^ possède en 0 un point double pour lequel la tangente et À normale des courbes polaires sont les tangentes à k^ (*).

(') I^ODENBERG [Uebcr die wàhrend der Bewegung projecliv-verànderlicher und starrer Système beschriebenen Curven und Flàchen ( Gôttinger

MOUVEMENT d'lN SYSTÈME PLAX DANS SON PLAX,