V. — Les points à courbure stationnaire
i. Jusqu'ici nous ne nous sommes guère occupé que des propriétés des trajectoires que l'on peut déduire de la considération de deux éléments infiniment voisins. Dans ce para-
MOUVEMENT d'uN SYSTÈME PLAN DANS SON PLAN. 89
graphe nous ferons un pas en avant et nos recherches s'étendront à trois éléments consécutifs.
Nous supposerons d'ahord données quatre positions Co, 0-,, 0--2, o"3 du système plan c. Désignons par <7'^, «"J, a^ les trois rayons normaux consécutifs d'un point A. En général, ils forment un triangle, mais nous pouvons nous demander s'il existe des points A de o- dont les rayons normaux a^, aj*, a\ se coupent en un seul et même point, et tels par conséquent que les quatre positions Ao, Aj, A2, A3 soient sur un cercle.
Il existe en effet de pareils points. Car, si g- est une droite quelconque, les points d'intersection des rayons normaux a^ eia\ qui lui correspondent forment une conique qui passe par les centres de rotation O'j,» O^c ^'oi (lU? !)•
De même, les points d'intersection des rayons a\ et a\ formant une section conique qui passe par O23, O'ai, 0\.^. Ces coniques contiennent toutes les deux le point O'i,. Donc elles se couperont encore en général en trois autres points, et chacun d'eux est caractérisé par le fait d'être le point de rencontre de trois rayons normaux consécutifs.
Il existe donc sur g- trois points de l'espèce considérée, et l'ensemble de ces points constitue une courbe du troisième ordre. On la désignera par A'0123 ou A-Jg.
On peut encore définir de la manière suivante les points de cette courbe. Les trois positions Œq, <7i, o-g déterminent une relation quadratique entre les points de a et ceux de a'; de même les trois positions c7i,(T2, «73 en déterminent une autre. A chaque point A correspondent, en général, deux points différents. Mais les points de la courbe /rj 3 jouissent de la propriété que le même point leur correspond dans les deux relations quadratiques, et les points A' sont les éléments unis des deux systèmes superposés œ', dont chacun est en relation quadratique avec (T.
% Il existe également une pareille courbe dans le système plan (t' pour le mouvement inverse, et les deux courbes sont en relation réciproque. Si A est un point de kl^ et A' le centre du cercle qui passe par Ao,Ai,A2, A3, A' est un point A-Jg. En effet, que nous regardions o- ou cr' comme mobile, les deux points A et A' seront, pour les quatre positions considérées,
4o CHAPITRE I.
à la même dislance l'un de l'autre. C'est dire que A^, A'^, A'gjAs sont sur un cercle dont le centre est en A. Ainsi, chaque point A' de /cjg est le centre du cercle correspondant au point A de kl^, et inversement, chaque point A de kl^ est le centre du cercle qui appartient à A'.
La courbe AJg est donc le lieu des centres des cercles pour les points de /^Jy, et A-J, est le lieu des centres des cercles pour les points de k'I'^ dans le mouvement inverse.
Chaque couple de points A et A' est formé de deux points correspondants des systèmes a et o-'; donc AJ3 et kl'^ sont des courbes correspondantes. AJ3 passe par O12, O20JO01, et AJ3 par O12, O20, O'^i, et, en effet, pour chacun de ces points, les quatre positions considérées sont sur un même cercle, car deux d'entre elles coïncident. Mais on voit que les points de AJ3 se comportent de la même manière vis-à-vis des quatre positions (Jo,u 1,(7^,(73, car, en chacun de ces points A' convergent, outre a^', a\,al, trois autres rayons normaux, qui sont les perpendiculaires élevées au milieu des cordes A0A2, A0A3, A1A3.
Donc A^3 passe par les six centres de rotation
De même, AJ3 passe par
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