I. — L'axe de rotation et les cônes polaires

1. Imaginons qu'un corps se déplace autour d'un point fixe. On désignera par S' l'espace immobile dans lequel il se meut. Nous supposons que le corps S soit illimité dans toutes les directions. Chacun de ses points décrit dans le mouvement une courbe sphérique, et il est évident que toutes les courbes qui sont décrites par les différents points d'une droite passant par 0 ont les mêmes propriétés géométriques.

Il suffit donc de considérer le corps mobile S comme une gerbe et d'étudier le mouvement d'une gerbe autour de son centre. Dans la Géométrie synthétique, chaque gerbe apparaît en général comme Tensemble de ses rayons et de ses plans. 11 est important pourtant de remarquer que, étant donnée la nature de notre sujet, on devra également considérer sur chaque rayon de la gerbe l'ensemble de ses points.

De même que dans le § I du Chapitre précédent, nous désignerons les points, rayons et plans de S par des lettres sans indices lorsqu'il s'agira de définir des éléments déterminés de la gerbe S, sans qu'il soit question de leur position dans l'espace S'. Au contraire, les différentes positions qu'un point A, un rayon « ou un plan s de S occuperont successivement seront désignées par Ao, Ai, A2, . . . , <^oi <^i> <^2? • • • ? £0» Sd £2» • • • et So, Si, Sa seront les positions correspondantes de S dans S'.

Tous les points de la gerbe qui sont sur une sphère décrite de 0 comme centre se déplacent sur cette surface sphérique. Le mouvement du corps lui-même est déterminé par celui de cette sphère. C'est pourquoi on a coutume de traiter du mouvement d'un corps autour d'un point fixe en étudiant le mou-

MOUVEMENT d'lN CORPS AUTOUR d'uN POINT FIXE. 53

vement d'un système sphérique sur sa propre sphère. Nous préférons, au coniraire, considérer le mouvement comme étant celui d'une gerbe autour de son centre.

2. Soient donc S et Si deux positions quelconques de la gerbe mobile, et a^, b^,, a^, b^ les positions correspondantes de deux rayons <2 et ^. Les deux rayons «o»^i sont porteurs de deux ponctuelles congruentes; les rayons forment deux couples d'angles opposés par le sommet. Nous conviendrons d'entendre toujours par angle [a^a^) celui des deux angles dont il faut faire tourner Gq pour que, a^^ tombant sur «,, les deux ponctuelles congruentes coïncident point par point.

Traçons les bissectrices a^' et è^" des angles ainsi définis (<7oai), (bobi) et par «(," menons le plan a^ perpendiculaire sur (^0^1 )» pai" ^o" ^^ P''''^ Po perpendiculaire sfir {b^b^). Les deux plans, que l'on désignera sous le nom de plans normaux des rayons a et b, se coupent suivant une droite a^ passant par le point fixe 0, et il est facile de \oir que, par une rotation autour de ^, «0 et ^0 arrivent en même temps à coïncider avec <7i et ^1, et cela de façon que la coïncidence se fasse point par point sur chaque rayon.

Par suite de cette rotation, chaque rayon Cq viendra donc aussi coïncider point par point avec le rayon c, (^). Donc :

Tout déplacement d'un corps dont un des points, 0, reste fixe, peut être ramené à une rotation autour d'un axe fixe passant par 0. Les plans normaux de tous les rayons du. corps se coupent suivant cet axe ('^ ).

L'axe fixe s'appelle axe de rotation. Si, dans les deux gerbes congruentes et concentriques, nous considérons encore l'en-

(') C'est ce qu'on démontrera de la même façon que pour le théorème analogue du Chap. I, § I, 2, se rapportant aux systèmes plans.

(") Ce théorème a été donné par Euler dans les : Formules générales pro translatione quacunque corporum rigidorum {Novi Comm. Acad. , t. XX, p, 202 ; i-j-f) ).

Il ne fut trouvé que vingt-cinq ans après le théorème correspondant pour un déplacement infiniment petit. Celui-ci fut découvert déjà en 17^9 par d'Alembert {Recherches sur la précession des équinoxes, p. 83 ; Paris, 1749), et bientôt après par Euler lui-même {Découverte d'un nouveau principe de Mécanique {Mémoires de l'Académie de Berlin, p. iS5; 1750)].

semble de tous les points situés sur les rayons, c'est-à-dire si nous les considérons comme deux espaces congruents qui ont en commun le point 0 comme élément uni, l'axe de rotation sera la droite commune aux deux espaces, et telle que chaque point de cette droite se corresponde à lui-même. De plus, le plan | perpendiculaire sur x se correspond également à lui-même.

3. Si Cq et Cl sont deux rayons correspondants quelconques de Sq et S, et si c% est la droite d'intersection des plans ^ et [coCj], cj et c'q sont perpendiculaires l'une à l'autre ; car cj est perpendiculaire sur^, et cj" est la projection de x sur [coCt]. Donc, pour chaque rayon cdu faisceau S, Co, cl\ c^^c^ forment un faisceau harmonique. Soient £o et Sj deux plans correspondants de So et Si. Désignons leur ligne d'intersection par 6o en tant que rayon de £o, et par a^ en tant que rayon de £i. A b^ et«i correspondront respectivement, dans S, et So, les rayons èi et «0- Les droites correspondantes a^" et b'^ sont également deux rayons homologues de £o et £i. On les appellera Ao et Ai; £„' est le plan passant par h^ et h^. Les angles que e^" fait avec £o et Ej sont égaux entre eux. Si donc h"^ est la bissectrice de l'angle {h^h^), h'^ est la projection de x sur £j", c'està-dire que le plan [^/?o'] est perpendiculaire sur £'^\

Les deux faisceaux égaux de rayons situés dans £o et £i engendrent un cône A- de deuxième classe qui a pour plans tangents £o, £i, £j" et le plan double ^. Deux des plans tangents à ce cône sont coupés par tous les autres suivant des faisceaux projectifs de rayons.

Mais, comme ao><^oS<^i><^o sont quatre rayons harmoniques, £oj£o">Si et I coupent le plan [ao<^i] suivant un faisceau harmonique, et la même chose aura lieu pour tout autre plan[coCi] du cône. Comme Co,Co",Ci,c^ sont aussi des rayons en situation harmonique, il s'ensuit que £j^ coupe le plan [coCi] suivant Cq\ c'est-à-dire que toutes les droites c'^ qui correspondent aux différents rayons du faisceau situé dans £ se trouvent dans £"\ Donc :

Si £ est un plan quelconque de la gerbe S, et que a soit un rayon quelconque dans ce plan, les bissectrices aj* des angles a^ax) sont toutes dans un seul et même plan t'l^\

MOUVEMENT d'uN CORPS AUTOUR d'uN POINT FIXE. 55

On appellera ce plan le plan médian de s.

Donc, non seulement il correspond à chaque rayon a^ de So un rayon déterminé aj", mais à tous les rayons a^ d'un plan £o correspondent les rayons a^^'- d'un plan s'". Les rayons a'^ forment donc une gerbe en coUinéation avec So et Si, et il suit de là que :

Les gerbes formées par les bissectrices a'^ et les gerbes So et Si sont des gerbes en coUinéation qui ont comme éléments unis l'axe de rotation x et le plan \ qui lui est perpendiculaire.

k. On peut considérer tout plan tangent au cône k^ comme étant déterminé par les droites c'" et cj perpendiculaires l'une sur l'autre. Mais cj' est toujours situé dans s^", et c^ dans ^. Donc le cône k"^ peut également être engendré en déplaçant l'angle droit (cJ^Cq) de telle manière que son sommet reste invariablement en 0, pendant que l'un de ses côtés tourne autour de 0 dans le plan Ç, et que la rotation de l'autre se fait dans le plan sj'. Alors le plan de cet angle enveloppe le cône k^.

Soit e le rayon de la gerbe S qui est perpendiculaire à e; les deux faisceaux congruents dont les axes sont Cq et e^ engendreront un cône K^ du second ordre. Si 70 et yi sont les plans de ces faisceaux qui sont perpendiculaires sur Cq et Ci la ligne d'intersection (yo yi) est perpendiculaire au plan [cq Cl], c'est-à-dire que K^ est le cône supplémentaire de k^. Mais Co, c^% Cl, Co sont quatre rayons harmoniques, et c'" et c^ sont les bissectrices des angles que font entre elles Co et Ci. Il s'ensuit immédiatement que yo, yi et les plans y,„ et y^ qui sont perpendiculaires sur c^^etc^ se coupent tous suivant la génératrice (yoyi), qu'ils forment un faisceau de plans en situation harmonique, et que y,„ et y^ bissectent les angles dièdres formés par y^ et y,. De plus, la droite c-^ est toujours dans le plan 5 et c[," toujours dans e^. Donc y^ passe par x et y,„ par la droite m perperdiculaire à £q\ Le cône K^ contient donc ^ et m et peut aussi être engendré au moyen des deux plans yx et y„i qui tournent autour de x et de m, en restant toujours perpendiculaires l'un sur l'autre.

C'est pourquoi ce cône sera désigné sous le nom de cône

orthogonal {^). Les faisceaux qu'engendrent les plans yx^^y,n sont projectifs. Soit a un plan quelconque perpendiculaire à œ. Il coupe les deux faisceaux de plans suivant des faisceaux de rayons. Mais le rayon (ay,„) est l'intersection de deux plans perpendiculaires ày^; donc il est perpendiculaire sur y^» et, par conséquent aussi, sur la droite (a^y), suivant laquelle y^ est coupé par a. Deux rayons correspondants de deux faisceaux sont donc perpendiculaires l'un sur l'autre; ils engendrent un cercle, et la ligne de jonction des points {aœ) et {am) est un diamètre du cercle. La même chose a lieu pour les plans perpendiculaires à m.

Observons encore que deux cônes réciproques sont tellement situés l'un par rapporta l'autre que les lignes focales de l'un sont perpendiculaires aux plans cycliques de l'autre; nous obtiendrons finalement le résultat suivant :

Les plans qui passent par les rayons correspondants Cq et Cy de deux faisceaux de rayons s^et £, enveloppent un cône qui a pour lignes focales l'axe de rotation x et la perpendiculaire élevée en 0 sur s^". Chacune de ces droites est perpendiculaire à un plan tangent du cône, x à\et m à e^".

Les droites suivant lesquelles se coupent les plans correspondants de deux faisceaux e^ et Cy de So et Si engendrent un cône orthogonal. Si e^ et e, sont les axes des deux faisceaux, et que s soit le plan de la gerbe S qui est perpendiculaire à e, I et £^ sont les plans cycliques de ce cône.

Soient g et h deux génératrices du cône K^ qui sont symétriquement placées par rapport au plan diamétral [x m]. Krésultera de l'intersection des faisceaux projectifs

g l^e^x e^m^^, h[eQX Cyin].

Mais on a démontré plus haut que

Mco g x) =: /\ {x g ei) =z ^ A {Co g Cl) , A {coh x)= A {xhei)=: \ Ai^o^iey).

(') Cette dénomination est due à Schrôter : Ueber ein Hyperholoid basonderer Art {Jour.fur reine und angew. Math., t.LXXXV, p. 4i et 79). Turazza découvrit que les cônes qui se présentent ici sont orthogonaux {Memorie del Reale Jnst. Veneto, t. XV, p. 474)-

MOUVEMENT d'uJV CORPS AUTOUR d'uN POINT FIXE. 67

De plus

A (eo^^i) — A {ejiey).

Donc aussi

A (^0^-^) = ''^ {eJi^) ol A (^^^i)— A {xhe,).

Trois plans de l'un des faisceaux font donc entre eux les mêmes angles que les plans correspondants de l'autre faisceau; donc les deux faisceaux sont congruents, et il suit de là que :

Deux rayons qui font le même angle avec l'axe de rotation peuvent servir à engendrer le cône orthogonal K^ au moyen de deux faisceaux de plans congruents.

11 en résulte pour le cône supplémentaire :

Deux plans de A^, qui font le même angle avec l'axe de rotation j sont coupés par l'ensemble des plans tangents suivant deux faisceaux congruents de droites.

5. Les résultats obtenus plus haut sont indépendants de la grandeur du déplacement que subit la gerbe S. Ils subsistent donc lorsque les positions So et Sj se rapprochent indéfiniment.

Nous pourrons les appliquer à' deux positions infiniment voisines d'un corps qui exécute un déplacement quelconque autour d'un point fixe. Alors les plans [a^ a^'] deviennent les plans tangents aux surfaces coniques engendrées par les rayons du corps, et les plans «^ deviendront les plans normaux.

Donc :

Lorsqu'un solide se déplace autour d' un point fixe, il exécute à chaque instant une rotation infiniment petite autour d'un axe passant par le point fixe. Cet axe s'appelle /'axe instantané de rotation. Les plans normaux aux cônes décrits par les rayons du corps passent par cet axe.

Et encore :

Les plans tangents à toutes les surfaces coniques que décrivent les rayons d'un plan s enveloppent à chaque instant un

cone de second ordre qui est tangent à e et au plan ^ perpendiculaire à l'axe de rotation. Le cône est supplémentaire d'un cône orthogonal et a pour lignes focales l'axe de rotation et la normale à s.

Chaque plan de la gerbe enveloppe un cône au cours du mouvement. Chacune des génératrices est la droite d'intersection de deux positions infiniment voisines de s. Pour obtenir les propriétés de ces surfaces, nous ferons se rapprocher indéfiniment So et Si. A la limite, e^ se confondra avec £o et h^ deviendra génératrice de contact de £ avec la surface conique. Comme pour tout déplacement de la gerbe S, £^ est perpendiculaire sur le plan [^/îJ']; la projection de x sur £ est à chaque instant la droite suivant laquelle £ touche son enveloppe. Le plan normal à la surface conique passe donc toujours par l'axe de rotation.

6. Soit K une surface conique quelconque de la gerbe mobile, le même théorème aura lieu pour l'enveloppe de K. Si, en effet, Ko, K,, KJ'^ sont les surfaces coniques correspondantes de So, Si, So% nous ferons passer par l'axe de rotation un plan 71^ normal à KJ" le long de bl\ Construisons alors le plan pj* qui touche K"' suivant b"^^ et déterminons les droites et les plans correspondants dans So et Si. Le plan So touche le cône Ko le long de 6o, de même Si touchera Ki le long de b^; b^ et èi sont les droites d'intersection de S"^ avec So et Si. Comme b"'' est la projection de l'axe de rotation sur SJ', b^ et bi sont ses projections sur So et Si. Donc, les plans homologues de 7ï^ sont TTo et TTi, plans normaux aux cônes Ko et Ki suivant bo et bi.

Si nous passons à la limite, Sy^ deviendra le plan tangent à l'enveloppe de K, et il s'ensuit que le plan normal à l'enveloppe de K passe à chaque instant par l'axe de rotation.

Donc :

Lorsqu'un corps se meut autour d'un point fixe, les plans normaux aux enveloppes de tous les plans et de tous les cônes de ce corps le long des génératrices de contact passent par l'axe instantané de rotation.

En particulier, il suit encore que :

MOUVEMENT d'uN COUPS AUTOUR d'UN POINT FIXE. ÔQ

Si g est V axe d' un faisceau quelconque de plans de S, l'ensemble des Trayons suivant lesquels ces plans touchent leurs enveloppes forme à chaque instant un cône orthogonal dont les plans cycliques sont perpendiculaires sur g et sur l'aœe instantané de rotation.

Pendant le mouvement continu de la gerbe S, l'axe instantané de rotation changera à chaque instant aussi bien dans S que dans l'espace fixe S'. L'ensemble des axes forme, dans S comme dans S', une surface conique. Pour reconnaître la manière dont ces surfaces se comportent l'une vis-à-vis de l'autre, nous n'avons qu'à reprendre, dans la géométrie de la gerbe, les recherches qui ont été faites au § II du Chapitre I pour la géométrie du plan. Nous reconnaîtrons alors que la surface conique V de la gerbe S roule sur la surface conique r' de l'espace invariable, c'est-à-dire que :

Tout mouvement d'un corps autour d'un point fixe a lieu de telle façon quun cône appartenant au corps mobile roule sur un cône de l'espace fixe.

Nous appellerons ces cônes cônes des axes ou cônes polaires (^).

7. Imaginons un observateur qui soit invariablement lié à la gerbe S; pour lui l'espace S' se déplacera dans la gerbe S. Ce déplacement sera encore qualifié ô'inversion du premier mouvement.

Les notations seront choisies en tout semblables à celles du Chapitre I. Nous considérerons maintenant l'espace S' comme formant également une gerbe; nous désignerons ses rayons et ses plans par a' et s' lorsque leur position vis-à-vis de S ne sera pas en question, elparaj,, a\, a'.2,. . ., Sq, £'i» £'2'- • • leurs positions successives. Les droites et les plans dérivés seront a'^' , a]^, Ef, ....

Les théorèmes concernant les rapports des deux mouvements trouvés au Chapitre précédent se présenteront encore ici sous une forme analogue. En premier lieu, on voit que le

(') Les cônes polaires ont été découverts par Poinsot {Journal de Liouville, t. XVI, p. 26).

6o CHAPITRK II.

mouvement inverse est caractérisé par le roulement du cône polaire F de S' sur le cône polaire T de S. De plus, chaque rayon b' de S' décrit une surface conique située dans S. Soient encore So et Sj deux positions de la gerbe S par rapport à S', par suite SJ, et S'^ les positions correspondantes de la gerbe S' par rapport à S. Nous construirons le plan normal a"^ d'un rayon quelconqueaodeSiCtnous considérerons un rayon quelconque ^J, de ce plan. On peut montrer que le plan normal (3^' de èj, passe par a^. En effet, les angles que b'^ fait avec Œq et a^ sont égaux; il faut donc que, dans le mouvement inverse, a© fasse avec b'^^ et b\ des angles égaux, car cette propriété est indépendante de l'immobilité de S ou de S'. Donc :

Si le plan no/mal du rayon a de S passe par le rayon b' de S', dans le ?nouvement inverse, le plan normal de b' passera par a.

De môme, pour un mouvement continu :

Si, à un instant quelconque, le plan normal à la surface conique décrite par a passe par le rayon b' de S', dans le mouvement inverse, le plan normal à la surface conique que décrit b' dans S passera par a.

Avec l'aide de ces théorèmes, nous démontrerons, exactement de la même manière qu'au précédent Chapitre, l'existence d'une relation quadratique entre S et S'.