II. — La correspondance quadratique

1. Soient Sq, Si, S2 trois positions arbitraires de la gerbe S. Désignons par a^, a^, a^ les positions correspondantes d'un rayon a de S; et de plus par a"'- et «;'" les bissectrices des angles {a^a^) et («i^s); par a^ et a\ les plans normaux correspondants. Les deux plans a\ et a\ se coupent suivant une droite a' qui est l'axe d'un cône de révolution passant par «0, <2,, «2. Considérons un plan quelconque £« de So; les plans normaux de ses rayons forment un faisceau de plans dont l'axe est œ'^^, et qui est en position perspective avec les rayons du plan médian. De même, les plans normaux ol\ forment un

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faisceau perspectif aux rayons a'" du plan médian s^ qui a pour

axe .^i-'j 2 •

Les deux faisceaux sont donc projectifs et engendrent un cône du second ordre qui passe par J7j,j et^jg. Mais il contient aussi l'axe de rotation ^20 commun aux gerbes S2 et So, car chaque rayon a est l'intersection des trois plans normaux qui bissectent les angles (a^ai), {a^a^), {a^a^), et sont perpendiculaires aux plans de ces angles. Comme a' est à la fois dans ol\ et «y, il résulte de l'avant-dernier théorème du précédent numéro que a est la droite d'intersection des plans normaux a^'eta"(' dans le mouvement inverse; c'est donc l'axe du cône de révolution qui contient «q, a\, a\. La significalion géométrique des rayons a et a' de S et S' qui se correspondent de cette façon est donc complètement récipro(|ue. Il s'ensuit qu'inversement, si les rayons a' de S' sont dans un plan z', les droites correspondantes a de S formeront un cône du second ordre qui passe par ^20» ^^oi, ^"12- Deux gerbes qui sont liées de cette façon l'une à l'autre sont dites en correspondance quadratique, et .r,,, ^20» ^01 o" -^U» •^20 -^oi sont les rayons principaux. 11 suit de là que :

Si à chaque rayon a de la gerbe S nous faisons correspondre le rayon a' de la gerbe S', suivant lequel se coupent les plans normaux a^ et a'(, a sera aussi l'intersection des plans normaux oC^^ et c(.[ pour le mouvement inverse. Les deux gerbes qui sont ainsi liées V une à l'autre sont en correspondance quadratique. Les rayons principaux de S' sont les trois axes de rotation du mouvement direct, et les rayons principaux de S sont les axes de rotation du mouvement inverse.

Les axes de rotation j^i,, ^20? -^oi ^^^ la gerbe S forment un trièdre, et de même ceux de S'. On démontrera d'une manière analogue à ce qui a été fait pour la Géométrie plane (Chap.I, § 11,2) que les deux Irièdres sont ûq^ figures symétriques. Supposons que les gerbes S et S' soient dans la position origine So et SJ,, alors ^01 et x'^^ coïncideront, ainsi que X 2oeit/. OA»

2. Continuons à supposer que S et S' soient dans la position origine, So et S'o- Soit ri un plan quelconque perpendiculaire

à ^01) il coupera les deux systèmes qui se correspondent quadratiquement suivant deux systèmes plans reliés de la même façon. Les points principaux seront X12, X20, Xoi, etX'^j, X20, Xoi,qui sont les points d'intersection de yi avec les lignes principales de la gerbe. Comme ri est perpendiculaire sur ^oi,les deux triangles formés par les points principaux sont des figures symétriques. Donc les systèmes plans superposés sont complètement identiques avec les systèmes plans correspondants 0- et a' que nous avons étudiés au Chapitre précédent. Il nous est donc permis de transporter au cas présent les résultats obtenus. Les systèmes plans, intersections de -n avec S et S^ seront aussi désignés par a et a', et nous pourrons appliquer à ces systèmes tous les résultats trouvés en Géométrie plane (^).

Nous avons ainsi résolu en principe les problèmes qui se rattachent à la correspondance quadratique de S et de S'. Il nous suffira de déduire, des propriétés connues des systèmes a et 0-', les propriétés correspondantes des gerbes S et S'.

A la droite de l'infini de l'un des systèmes plans, correspond dans l'autre le cercle circonscrit au triangle des points principaux. Mais la droite de l'infini de chacun des deux systèmes est l'intersection des plans ^01 et y], '^qi^=zI'^^ étant le plan normal perpendiculaire à ccqi^=j^'qi. Il s'ensuit qu'au plan ^01 correspond, dans chaque gerbe, un cône qui passe par l'axe de rotation, et qui est coupé suivant des cercles par les plans perpendiculaires sur j?oi- Ce cône est donc orthogonal, et il est visible qu'il est complètement déterminé par les trois rayons principaux. Nous désignerons le cône de S qui correspond au plan ^^^ par W012 et celui de S' qui correspond au plan ^01 pai' W012; ^^ ^ démontré que les deux cercles des inflexions situés dans o- et <j' ont même diamètre, donc les angles d'ouverture de W^ia et W^ig sont égaux entre eux.

(*) Aronhold, dans les conférences de Géométrie cinénnatique qu'il fit au Polytechnicum de Berlin, montra le premier comment on peut ramener à des constructions planes celles qui se présentent par la gerbe. Sa méthode a été exposée par Buka. Elle contient déjà les principes de la représentation donnée dans le texte [Voir Buka, Das sjthàrische Kurbelgetriebe (^Inaugural Dissertation, Gottingen, 1876)].

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3. Si les positions So, Si, Sg se rapprochent indéfiniment, nous obtiendrons des théorèmes applicables à chaque instant au mouvement d'un corps autour d'un point fixe. Alors a' devient l'axe de courbure de chaque point de a. Nous désignerons cette droite sous le nom à'aœe de courbure du rayon a. Dans ce sens a sera aussi l'axe de courbure de a' pour le mouvement inverse, et l'on a ce théorème :

Si un corps se meut autour d'un point fixe, et si a' est l'axe de courbure du rayon a, a sera de même axe de courbure de a' pour le mouvement inverse. Si nous faisons correspondre ces rayons l'un à l'autre, les gerbes de rayons gui se correspondent ainsi sont en correspondance quadratique. Les rayons principaux se confondent avec l'axe instantané de rotation, et les plans principaux avec le plan tangent commun aux cônes polaires.

Les cône^ orthogonaux W012 et W^ j ^ deviendront à la limite deux cônes également orthogonaux W et W qui louchent le plan tangent commun aux cônes polaires T et F', le long de l'axe instantané de rotation. Imaginons que le plan normal à r et F mené par x coupe le cône W en u et W en v' ; x et V seront les deux rayons de W sur lesquels les plans de sections circulaires sont perpendiculaires, et x' et v' les rayons analogues du cône W. Chaque rayon 5 de W est caractérisé par ce fait que son axe de courbure est perpendiculaire sur^, et la même chose a lieu pour les rayons ^' du cône W dans le mouvement inverse. Les rayons des deux cônes jouissent encore d'une autre propriété géométrique. Le plan (sx) est le plan normal du rayon s; de plus, chacun des rayons s est projeté de X et de u au moyen de deux plans perpendiculaires; donc le plan [su] est le plan tangent le long des. La même chose a lieu pour les rayons du cône W, et cela aussi bien pour le mouvement direct que pour le mouvement inverse. Donc :

Les plans tangents aux cônes trajectoires des rayons du cône orthogonal W passent tous par une même droite, savoir la droite u de ce cône. De même les plans tangents des rayons du cône orthogonal W passent tous par le rayon v' de ce

cone. Cela a lieu 'aussi bien dans le mouvement direct que dans le mouvement inverse.

Nous venons de faire voir qu'aux rayons de tout plan £ de S correspond, dans la gerbe S', un cône du second ordre qui contient les trois axes de rotation x\^, x'^^, x'^^ du mouvement inverse. Cela a lieu pour des positions quelconqu(îs So, S,, Sa de la gerbe S, donc aussi pour des positions infiniment voisines. Dans ce cas W sera osculateur le long de x au cône du second ordre dont il vient d'être fait mention, et la même chose a lieu pour W, par rapport au cône qui correspond aux rayons d'un plan z' de S'.

Donc :

Tous les cônes du second ordre de la gerbe S' qui correspondent aux plans s de la gerbe S sont osculateurs au cône orthogonal W le long de l'axe instantané de rotation; de même, le cône orthogonal W est osculateur à tous les cônes du second ordre de la gerbe S qui correspondent aux faisceaux plans de rayons de S'.

Les cônes W et W jouent, dans la correspondance quadratique des deux gerbes le même rôle que les cercles des inflexions dans la correspondance quadratique des plans

«7 et 0-'.

k. Nous avons démontré, au § VI du Chapitre précédent, que la signification géométrique des deux points correspondants A et A' des systèmes plans o- et o-', en relation quadratique, pouvait s'étendre aux enveloppes des courbes du système.

La même chose a lieu, comme on va le faire voir, pour le mouvement d'une gerbe de rayons autour d'un point fixe.

Soit, en effet, R un cône de révolution quelconque de la gerbe S; Rq, Ri, R2 ses positions dans Sy, S,, S2 et R'^, R"' les cônes correspondants des gerbes S'", Sf en collinéation avec S. En général, ce ne sont pas des cônes de révolution, mais cela n'est pas essentiel, comme le montre la suite de ces recherches.

Soit a l'axe du cône R, «o? <^'i> <^i ses positions dans Sq, Si, So

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et al\ a"'^ les droites correspondantes de S,'" et Sf . Les plans

sont des plans correspondants des gerbes Sq, Sy" et Si-

Soit b'^ l'une des droites suivant lesquelles tt'" coupe le cône RJ^, et, pour fixer les idées, admettons que b"'^ soit situé entre jr'^i et «'". Alors tto coupera le cône Ro suivant ^0, et TT, le cône Rj suivant ^i, et b^ sera également situé entre j?^, et a^; by entre x'^^ et a,. Enfin, soit (3"^ le plan tangent au cône R'" le long de b^^; les plans correspondants j3o et |3i seront des plans tangents aux cônes Ro et Rj. Construisons de la même façon les plans correspondants

des gerljes Sj, S'" et S2, et désignons par c'" le rayon silué entre a"y et x\.^ suivant lequel p'" coupe le cône R'". Alors Ri sera coupé par pi suivant c^ et R2 par p2 suivant c,.

Nous désignerons par y'" le plan tangent à R'/^ le long de c'"; yi touchera le cône Rj le long de c^ et 72 sera tangent à R2 le long de c-i.

Soit maintenant K un cône quelconque de la gerbe S, qui ne sera assujetti qu'à toucher le cône de révolution R, suivant les deux génératrices b et c. Concevons ensuite que la rotation autour de J7g, devienne infiniment petite; alors (3'" deviendra, comme on l'a démontré au paragraphe précédent, le plan tangent à l'enveloppe de K; b^' deviendra la génératrice de contact et ttJ" le plan normal à l'enveloppe suivant ce rayon. De même, si la rotation autour de x\.^ devient infiniment petite, œ\.^ sera l'axe instantané de rotation, yf le plan tangent, c'/' le rayon de contact et p'" le plan normal à l'enveloppe.

Admettons encore que œ'^^ et x\.y soient deux génératrices infiniment voisines du cône polaire, il s'ensuit immédiatement que le rayon d'intersection des deux plans normaux n'^ et p'" devient l'axe de courbure de l'enveloppe de Ki et R le cône de courbure de K suivant le rayon b\ c'est-à-dire que pour tout cône R qui a R comme cône de courbure, la droite qui est la position limite de l'intersection de tt'o" et p'/' sera l'axe de courbure de l'enveloppe correspondante.

Il nous faut encore montrer que cette droite est réellement l'axe de courbure de la surface engendrée par a, c'est-à-dire la droite a' de S'. Cela résulte de ce qui suit :

Soit «0^ le plan passant par aj* et perpendiculaire sur ttJ'. Il est facile de voir que ttq est perpendiculaire au plan correspondant ao de So, et tti perpendiculaire sur a,. Donc «o» «1, a^^ sont les projections de ^oi sur «o, a,, a"\ c'est-à-dire que Gq et a^ sont les droites d'intersection du plan a'" avecao et GCi. Le plan aj^ est donc identique avec le plan [a^ai]. Par conséquent, ttJ* est identique avec le plan normal a^ du rayon a qui correspond aux positions So et Sj. De même, p"* est identique avec le plan normal a] qui correspond à Si et S2, c'est-à-dire que la ligne d'intersection de n"'- et de p7^ est, en effet, en même temps ligne d'intersection de a^ et de (x\f et se confond à la limite avec a'.

Désignons l'enveloppe du cône K par K', et remarquons que, dans le mouvement inverse, K est l'enveloppe de K', nous arrivons au théorème général suivant :

Si K et K' sont deuœ surfaces coniques quelconques des deux faisceaux dont l'un enveloppe Vautre, leurs axes instantanés de courbure pour la génératrice de contact sont deux rayons correspondants a et a' dans la relation quadratique qui caractérise l'instant considéré du mouvement.

La signification des cônes VV et W peut être étendue au moyen de ce théorème. Soient encore K et K' deux surfaces coniques de l'espèce considérée. Si l'axe de courbure de l'un des cônes de K, par exemple, est situé dans le plan ^, celui du cône K' sera sur la surface conique W de la gerbe S'; et si Taxe de courbure de K est sur le cône orthogonal W de la gerbe S', celui de K' sera dans le plan \.