Pour faire une application des formules données dans

Fig. ig-

ce paragraphe, nous nous en servirons pour déterminer la position de la droite des inflexions à laquelle (VIII, 5) se réduit la courbe des inflexions lorsque les axes du déplacement sont parallèles. On peut procéder de la façon suivante. Considérons d'abord tous les points A de 2 pour lesquels Ao,

A,, A2 sont dans un plan parallèle à ^01- Ces points satisfont tous à cette condition que les projections des cordes AoA^ et A1A2 sont en ligne droite si la projection est faite sur un plan perpendiculaire à ^oi«

Soient {/Ig'. 19) X^, Xy, X^ les projections de ces points, Ao^'\ , X'l\ celles des points milieux, A;'\, A;"2 et D'oi, O'ig les points d'intersection du plan avec ^q^ ela^\^. Nous désignerons par /•'(," la distance de <Âd'^\ à Oo^, et r'j" sera celle de X"\ àOi2- Nous appellerons a la distance des axes ^'^i ^^ -^U» ^^t et 2£22 les rotations correspondant aux deux déplacements, et enfin a sera l'angle que font r^" et rf^ ^^<?c un plan perpendiculaire au plan [^'oi^'^^]- On a

r'l\ tang^i2 4- r'^^ tang^oi = <^ cosa, /•'", — r^, = a sin a.

Tous les points A de 2 qui satisfont à ces deux équations jouissent de cette propriété que le plan A0A1A2 est parallèle à l'axe du déplacement; mais les points de la droite cherchée sont encore distingués par cela que les cordes A© A,, AjAg ont la même inclinaison sur ^J^j ou û:\^. Désignons alors par 2 Uqi et 2 U12 les deux composantes de glissement des deux mouvements, on a

r;;\ tangi^oi

tangl2j

Introduisons encore les paramètres des deux déplacements, et posons

Uoi U,2

tangl2o,

tangli

MOUVEMENT d'lN SYSTÈME INVAHIABLE. I77

Divisons, les deux membres de la première équation par /'oi tangl2,2 et tenons compte de (3). il vient

Uoi -h Ui2 Cl cosa

Uo, Cl tanglioi

La deuxième équation donne» en divisant par aJ\ et tenant compte de (3),

pli— Pq\ __ <^ sina

P^i 'oi

Posons encore, pour abréger,

a Uo,

tang£2oi lJoi-+-U,2 et

il vient finalement

a zrzcl^y

Pu pQi

r'^\ = d cosa, /•^"j =r <ii sin^c,

et cette équation nous montre que g'^\ est l'intersection de deux cylindres dont l'un a d comme diamètre et touche le plan [-^'[,,^^12] des deux axes, et dont l'autre a pour diamètre d^ et a ce même plan des axes comme plan diamétral. Par là, la position de la droite g est elle-même déterminée. Il s'ensuit encore que les deux cylindres se coupent à angle droit.

Si les positions 1q, 1^ et 1^ se rapprochent indéfinimeni, le premier des deux cylindres touchera le plan tangent aux surfaces polaires et coupera orthogonalement le second cylindre suivant la droite g et suivant l'axe instantané du mouvement.

Le premier cylindre a, par rapport au plan tangent, absolument la même position que, dans le plan, le cercle des inflexions par rapport à la tangente aux courbes polaires.

178 CHAPITRE m.