DX.EX

qui résulte immédiatement des autres.

Dans cette formule, DX et EX ont une double signification pour les plans ô et £; on peut les considérer comme étant les distances de leurs foyers à l'axe instantané ou comme les distances de leurs caractéristiques à cet axe. Observons que les positions du foyer et de la caractéristique d'un plan ne dépendent que de l'angle que le plan fait avec x\ nous arrivons ainsi au théorème suivant :

Lorsque deux plans de l^font avec l'axe instantané des angles complémentaires^ le produit des distances de leurs foyers à Vaxe est égal au produit des distances des caractéristiques. Ce produit est constant pour un pareil couple de plans, et égal au carré du paramètre du mouvement hélicoïdal instantané.

10. A l'aide du précédent théorème, nous sommes en état de nous créer une image nette de la position du foyer d'un plan et de sa caractéristique, ainsi que de la distribution des droites conjuguées dans l'espace. Toutefois, avant d'aller plus loin, il nous faut déterminer dans quels cas la distance d'une droite à l'axe, ainsi que l'angle qu'elle fait avec l'axe, devront être considérés comme positifs ou négatifs.

MOUVEMENT d'uN SYSTÈME INVARIABLE. lyS

On peut faire les conventions suivantes : Si A est un point quelconque de 2, et que / soit la perpendiculaire abaissée de A sur oC, faisons passer par A un plan normal à /, et considérons dans ce plan le faisceau de rayons dont le centre est en A. La distance du point à ^ est en même temps la distance de toutes les droites g- du faisceau à Taxe. Cette dislance peut être toujours considérée comme positive. Mais, parmi ces droites, il en existe une qui est parallèle à ^ et une qui est tangente à la trajectoire t de A. Nous conviendrons de regarder toujours l'angle de ces deux droites comme étant aigu et positif. De cette manière, l'angle qu'une droite quelconque du faisceau fait avec œ est complètement déterminé. D'après les conventions faites plus haut, les distances p et les angles {g^^) sont également déterminés pour les droites g^ conjuguées des droites du faisceau.

Les droites g passent toutes par le point A et sont en même temps dans un plan parallèle à x. Les droites g^' passent donc par le foyer de ce plan, situé à l'infini, et sont dans le plan normal yy de A. Elles forment donc un faisceau de rayons parallèles qui sont tous perpendiculaires sur / et qui font le même angle avec x; cet angle est le complément de celui sous lequel la tangente à la trajectoire de A rencontre x. Maintenant on peut immédiatement indiquer de quel côlé le rayon / est rencontré par les différentes droites g\

En effet, le diamètre u parallèle à x qui appartient au faisceau a une droite conjuguée à l'infini, et la conjuguée d'une droite perpendiculaire à x rencontre cet axe. Si donc g est une droite qui fait avec u un angle obtus dans le sens défini plus haut, elle est du même côté de x que sa conjuguée, et si g fait avec u un angle aigu, g et g"' seront de part et d'autre de l'axe instantané. Si donc nous voulons déterminer la position de g^ conjuguée d'une droite quelconque g, nous commencerons par déterminer le pied A de la perpendiculaire commune à ^ et à x. Alors la direction de g^ sera perpendiculaire à celle de la tangente à la trajectoire de ce point. Suivant que g fera avec x un angle aigu ou obtus, g et g^ seront de côtés différents de l'axe, ou du même côté.