DÉCRIT UNE ELLIPSE

10. Lorsque trois points A, B, C d'un plan y) perpendiculaire à la direction de l'axe ont la propriété de se mouvoir dans des plans a', (3', y' qui ne passent pas par la même droite, la même chose aura lieu pour tous les points. Car soient encore 2o, 2i, ^2, ^3 quatre positions du système, les points que nous avons désignés plus haut (7) par S' et S" devront tous les deux se confondre avec le point d'intersection des trois plans a', [3', y'. Or le plan P0P1P2 passe par

MOUVEMENT d'uN SYSTÈME INVARIABLE. 2O7

S' et Pi, P2, P3 par S". Donc les deux plans sont identiques et il s'ensuit que :

Si un triangle se meut parallèlement à son plan, de telle façon que ses trois sommets restent sur trois plans fixes, tout point invariablement lié au triangle se meut dans un plan.

A cause de la correspondance quadratique qui existe entre les plans tt' et les points P, le point W sera un point fixe de t) ; chaque point de la droite w décrit donc une droite. De plus {fig. 20), au faisceau de plans dont l'axe s est perpendiculaire sur Y] doit correspondre un cercle fixe de yj qui passera toujours par S et W. Ce cercle c est le cercle des inflexions de £. Si donc L est un point quelconque de ce cercle, son plan X' est perpendiculaire sur yî, et la trajectoire de L dans £ est une droite passant par S. Le mouvement du plan s sur lui-même, mouvement qui est connexe au mouvement dans l'espace, est donc défini par ce fait que tout point L du cercle c se meut sur une droite passant par S. Ce déplacement est donc identique avec celui où tout point P décrit une ellipse E^j. Et en ce qui concerne le déplacement dans l'espace, chaque point P décrit l'ellipse suivant laquelle le plan %' coupe le cylindre elliptique dont la base est E^. Donc :

Si un triangle se déplace de telle façon que ses sommets se meuvent sur trois plans fixes, tout point invariablement lié au triangle décrit une ellipse; pour tous les points d'une droite w perpendiculaire sur s, les ellipses se transforment en droites.

Dans le mouvement du plan s sur lui-même, le cercle c est la roulette; la base de la roulette est un cercle c' de rayon double, sur lequel croule intérieurement.

D'ailleurs S est le centre de ce cercle.

Donc :

Si un système 2 doit se déplacer de telle façon que chaque point décrive une courbe plane, cela ne peut avoir lieu qu'à condition qu'un cylindre circulaire^ de 2 roule à l'intérieur d^un cylindre circulaire de rayon double, et glisse en même

temps le long de celui-ci, de telle sorte qu'un point de 2 reste dans un plan fixe {^).

11. Il est intéressant de rechercher ce que deviennent dans le mouvement étudié les surfaces et les courbes lieux des points à éléments stationnaires. Il est d'abord évident que tous les points satisfont à la condition imposée aux points de la surface C ; il ne peut donc s'agir que de points à cercle de courbure stationnaire. Ce sont ceux qui passent à Tinstanl considéré par un sommet de leur ellipse trajectoire; en d'autres termes, il s'agira donc de chercher à chaque instant le lieu des extrémités des axes de ces ellipses. On voit immédiatement que tout plan s doit contenir une infinité de ces

(») L'énoncé de ce tliéorème suppose connu ce résultat dû à M, Darboux, à savoir que le seul mouvement dans lequel toutes les trajectoires des plans sont planes est celui où tous les points décrivent des ellipses.

Voici la démonstration de M. Darboux.

On peut supposer qu'un certain nombre de plans de l'espace seulement sont décrits par les points mobiles. Ce cas se ramène à un déplacement de la figure parallèlement à un plan fixe.

Ou bien tous les plans sont décrits par les points mobiles.

Alors, dans le mouvement inverse, tous les plans passent par des points, fixes.

Soient deux plans parallèles de la figure mobile x et F,; pendant le déplacement, ils seront toujours à la même distance l'un de l'autre, et comme chacun d'eux pivote autour d'un point fixe, le premier sera tangent à une sphère dont le centre est le point fixe par lequel passe le second.

On peut donc énoncer ce théorème :

Si une figure de l'espace peut se déplacer de manière que tous ses plans passent par des points fixes, ces plans envelopperont des cônes de révolution.

Et comme la classe de l'enveloppe des plans dans le mouvement inverse est égale à l'ordre des trajectoires des points dans le mouvement direct^ nous pourrons ajouter :

Si une figure de l'espace peut se déplacer de manière que les trajectoires de tous les points soient planes, ces trajectoires sont des coniques.

Resterait à montrer que le mouvement le plus général où tous les points décrivent des coniques est bien celui qui a été étudié. Pour la démonstration voir le Mémoire déjà cité de M. Mannheim {Journal de l'École /*oly technique, CdihxQv 1,\).

MOUVEMENT d'uN SYSTÈME INVARIABLE. 209

points, tandis que dans le cas général e n'en contient que trois. Considérons trois positions du système, lo^^i^'^i- Pour une droite quelconque g située dans le plan s, les plans normaux instantanés forment les trois faisceaux projectifs gl, g\, g\. Les faisceaux g^ et g\ d'une part, g\ et g\ de l'autre, engendrent deux hyperboloïdes, et dans le cas particulier qui nous occupe, les génératrices de ces surfaces sont parallèles deux à deux, car les génératrices correspondant à un point P de g sont toutes les deux perpendiculaires sur le plan r.' . Les deux systèmes réglés ainsi déterminés sont projectifs et rencontrent tous deux la droite g\ ; donc il existe à chaque instant sur ^^ deux points à axe de courbure stationnaire. Comme les points cycliques I» et J« sont à considérer comme des points à axe de courbure stationnaire, tous ces points forment un cercle qui passe par W.

Donc les points qui passent par un sommet de leur ellipse trajectoire sont à chaque instant sur un cylindre circulaire qui contient la droite w.

12. Il nous reste à faire voir comment on peut, étant donné le déplacement du triangle, construire à chaque instant l'axe du déplacement et les autres éléments déterminants du mouvement.

Soient {fig^ 21 ) A, B, C les sommets du triangle, a', (3', y' les plans correspondants ; soient S' le point d'intersection de ces plans et S sa projection sur le plan du triangle £.

Les arêtes du tétraèdre déterminé par a', (3', y' seront désignées par «, 6, c. Enfin Al, Bi, Cl seront leurs points d'intersection avec Y], de sorte que Ai Bi Ci est circonscrit au triangle ABC.

Or, au faisceau de plans dont l'axe est a, il correspond, comme nous l'avons vu plus haut, le cercle ka qui passe par Al, B, C, et sur ce cercle se trouve W.

De là il suit que : te

Les trois cercles ka, k^, k^ qui passent par Ai, B, C; Bi, C, A; et Cl, A, B se coupent au point W.

Pour le plan v du faisceau passant par «, qui est normal au plan Y], le point N correspondant est sur le cercle des inflexions ; d'autre part, c'est le point d'intersection du cercle ka avec SAi- Donc : Les points N^, N^, N^ ou les cercles ka, k^, kc sont coupés par SAi, SBi, SCj sont sur un même cercle avec^ et S; ce cercle est la courbe polaire du plan n (^ ).

Le point S est le pôle des inflexions du mouvement plan; donc l'autre extrémité du diamètre de c qui passe par ce point est le centre instantané du mouvement plan. En même temps S est le centre de la base de la roulette. Enfin on remarquera que, en même temps que le cercle c, on a déterminé le plan ir' correspondant à tout point P de £.

13. Si l'on veut étudier plus complètement le mouvement précédent, il sera avantageux d'adopter la marche suivante.

Comme on peut se donner arbitrairement le plan ii' correspondant à un point P de 2, on choisira de préférence un point particulier, tel que le centre M du cercle c. Celui-ci décrit sur le plan £ un cercle dont le centre est en S {fig. 22). Nous considérerons en outre comme position initiale du sjstème 2 celle pour laquelle M passe par le point le plus bas de sa trajectoire. La normale m élevée en M sur SM sera la droite d'intersection du plan [j.' avec le plan s ou yî et MS sera la projection sur s du grand axe de l'ellipse E,„ décrite par M. Le point W se confond pour cette position avec le centre de rotation, de sorte que S, M, W sont en ligne droite.

Fig. 22

(*) En ce qui concerne l'énoncé purement géométrique du théorème, on remarquera que S est un point quelconque.

MOUVEMENT d'uN SYSTÈME INVARIABLE. 211

De plus, OQ voit que le cylindre C occupera aussi sa position la plus basse, et qu'une fois qu'il aura accompli une révolution complète sur C, il sera arrivé à sa position la plus élevée, et que toutes les particularités du mouvement se présentent d'une façon symétrique pendant les deux phases qui correspondent à la montée et à la descente.

On déduit facilement de cela qu'il existe sur la droite MS un point dont la trajectoire est un cercle; car, pour tous les points de cette droite, les axes des ellipses trajectoires sont l'un perpendiculaire à MS, tandis que l'autre est dans le plan normal passant par MS. Les axes de l'ellipse décrite par P pendant le mouvement plan dans s sont

a = SP et b=:OP.

Désignons par o l'angle de tt' avec s, il s'ensuit

«i=SP:cos9 et 6i = 0P,

pour les axes de l'ellipse décrite dans le mouvement de l'espace. Si donc pour le point K on a

SK t=r OK cos A-,

le point K décrira un cercle. Mais l'équation

SKtangA=rSMtang^ donne

COt - =: 2C0t a = cot S'OS.

Suivant que 2cot|j^ J i ou S'S < 2«, en désignant par 2a le diamètre du cercle c, K se trouvera entre M et S ou de l'autre côté de S, et lorsque en particulier 2cot(j.= i, S lui-même décrira un cercle. Dans ce cas, le cercle est dans un plan perpendiculaire sur WS et sur le plan du Tableau.

Il est facile de voir que K est le seul point de -n qui décrit un cercle. Le point K est toujours sur le cercle considéré en 11, et qui est le lieu des sommets des ellipses trajectoires. Comme ce cercle contient W, il suffira d'un seul point pour le déterminer. Ce qu'il y a de plus simple, c'est de chercher le point d'intersection différent de W avec le cercle des in-

flexions. Soient Q l'angle dont on a tourné la roulette c, et 7 l'angle différent de 0 qu'un point L de ce cercle fait avec la position origine de LW, on a

sin {i\ — B) ce qui détermine un troisième point du cercle.

14. Enfin, nous caractériserons analytiquement la correspondance cubique spéciale qui lie les points P aux plans tt'. Soit 0 l'origine de coordonnées rectangulaires, prenons l'axe du déplacement pour axe des 5, la normale à la courbe polaire pour axe des j. Désignons les coordonnées-points homogènes par œ^y^'z, t; par a, r, tr, /- les coordonnées-plans. On a les formules suivantes :

au = /i œl^y

h désigne la longueur SS' et 2d le diamètre du cercle c. De là on tire

p^ m 2 mv {hw — dv),

pyziz 2 vw {hw — dv),

pz ■={!' — hw -h dç) {u--\- Ç-),

pi z=z w (m^-H V-).

D'après cela, la courbe fondamentale de l'espace Ise décompose de la manière qui a été indiquée, en quatre droites; tandis que la courbe fondamentale de l'espace 2' se compose des six droites

hw — di^ —

u — iç

hw -

a 4- Lv

hw -

- dv =^ 0,

u — iv

rrrO.

NOTES. 2l3