Dans un système focal, les divers points d'une conique

(') On peut aussi conclure ce tliéorème du précédent (n° 26), en s'appuyant sur un théorème de Cliasles, d'après lequel une droite mobile qui s'appuie sur deux droites fixes, non situées dans un même plan, en y déterminant deux séries homo graphiques de points, engendre une surface du second degré.

ont pour plans polaires respectifs les plans tangents cV un cône du second de gré y dont le sommet est le pôle du plan de la conique.

Plus généralement, les divers points d'une courbe plane ali^éhrique du m^^™^ degré ont pour plans polaires respectifs les plans tangents d' un cône de m^«™*' classe, dont le sommet est le pôle du plan de la courbe.

Soil C,„ une courbe du /n'*'"^ degré, contenue dans le plan w. Les plans polaires des divers points de cr passent par le pôle/? de ce plan (n° 10). En particulier, les plans polaires des points de C,„ enveloppent un cône, ayant p pour sommet. On peut mener à ce cône autant de plans tangents par une droite quelconque D passant par son sommet, qu'il y a de points à l'intersection de la conjuguée D' de D avec C,„ (n° 12). Le nombre de ces plans tangents est donc égal à m et le cône est bien de la m^*'^^ classe (^).

Nous dirons qu'une pareille courbe et un pareil cône sont corrélatifs.

30. Dans un système focal, les plans polaires respectifs de deux points conjugués par rapport à une conique sont conjugués par rapport au cône corrélatif.

Soient, en effet, a et a' deux points conjugués par rapport à une conique C, c'est-à-dire conjugués harmoniques par rapport aux points d'intersection b et b' de la droite aa' avec C. Aux quatre points a, a' ^ b et b' correspondent anharmoniquement leurs quatre plans polaires respectifs a, a', p et P', se coupant suivant une même droite, qui est la conjuguée de <2«5'(n°22). Par suite, les quatre points «, a\ b, b' étant en proportion harmonique, il en est de même des quatre plans a, a', [3, (3'. D'ailleurs, les plans (3 et (3' sont tangents au cône corrélatif

C) On démontre d'une manière analogue que^ dans un système focal : 1° les divers points d'une courbe gauche algébrique du m^^'"^ degré ont pour plans polaires les plans tangents d'une développable algébrique de la m"'""' classe; 2° les divers points d'une surface algébrique du ni"'"" degré ont pour plans polaires les plans tangents d'une surface algébrique de la m'^"^" classe.

de la conique C. Donc les plans a et a' sont conjugués par rapport à ce cône.

31. Dans un système focal, les droites respectivement conjuguées de deux droites conjuguées par rapport à une conique quelconque sont deux diamètres conjugués du cône corrélatif.

En effet, soient D et D' deux droites contenues dans le plan w d'une conique C et conjuguées par rapport à cette conique, c'est-à-dire conjuguées harmoniques par rapport aux tangentes T et T', menées à C par le point de rencontre o de D et de D'. Les droites A, A', 0, 0' respectivement conjuguées de D, D', T, T', forment, comme elles, un faisceau qui est contenu dans le plan polaire c») du point o et qui a pour sommet le sommet p du cône F corrélatif de la conique C. De plus, le rapport anharmonique des quatre droites A, A', 0, 0' est égal à celui des quatre droites D, D', T, T' (n° 25), et comme les quatre premières droites sont en proportion harmonique, il en est de même des quatre dernières. Or les droites 0 et 0' sont à l'intersection du cône F avec le plan co. Les droites A et A', conjuguées harmoniques par rapport à 0 et à 0', sont donc bien deux diamètres conjugués du cône T.

32. Dans un système focal, les divers points d'un cercle ayant son centre sur l'axe et son plan perpendiculaire à cet axe, ont pour plans polaires respectifs les plans tangents d*un cône de révolution, dont Vaxe coïncide avec celui du Systems focal.

Soit 0 un cercle, dont le centre o est sur l'axe du système focal et dont le plan w est perpendiculaire à cet axe. Les plans polaires des points du cercle 0 enveloppent un cône du second degré 1^ ( ii" 2')) ayant o pour sommet. La droite à l'infini dans (0 a pour conjuguée l'axe U du système focal (n** 13). Mais le point o étant conjugué, par rapport au cercle 0, de tout point à l'infini dans w, le plan w est conjugué, par rapport au cône 12, de tout plan passant par U (n» 30). La droite U est donc, par rapport au cône ^, le diamètre conjugué du plan 0) et, comme ce diamètre est perpendiculaire à w, c'est Taxe

du cône. D'autre part, deux diamètres rectangulaires du cercle 0, étant leurs propres conjuguées dans le système focal (n'' 15), sont deux diamètres conjugués du cône 12 (n" 31). Deux diamètres conjugués quelconques du cône 12 dans le plan 0) étant rectangulaires, ce cône est de révolution.

33. Il résulte du théorème précédent que, si un point du système focal tourne autour de l'axe U, il en est de même de son plan polaire, puisque ce plan enveloppe alors un cône de révolution ayant U pour axe. Par suite, un système focal et le complexe linéaire qui lui correspond ne cessent de coïncider avec eux-mêmes, dans toute rotation autour de leur axe U.

3i. Considérons l'ensemble des plans diamétraux et des droites du complexe qui s'y trouvent réparties. Il est clair que, dans toute translation parallèle à la direction axiale du complexe, les plans diamétraux glissent sur eux-mêmes et que le faisceau de droites parallèles du complexe, contenu dans chacun d'eux, reste en coïncidence avec lui-même. Donc un complexe linéaire et le système focal correspondant restent en coïncidence açec eux-mêmes, dans toute translation parallèle à leur direction axiale,

35. Du rapprochement des deux dernières propositions, on conclut que tout système focal et le complexe linéaire qui lui correspond coïncident avec eux-mêmes, dans toute rotation autour de leur axe, accompagnée d'une translation le long de cet axe, et aussi, par conséquent, dans tout déplacement hélicoïdal autour de ce même axe.