III. — Relations métriques. Génération du complexe

linéaire.

36. Dans un système focal, il existe une relation de position remarquable entre un point quelconque, son plan polaire et l'axe du système. Cette relation est la suivante :

La distance d'un point quelconque à l'axe est inversement

proportionnelle à la tangente de V angle que fait avec cet axe le plan polaire du point.

En d'autres termes, en désigaant par /• la distance d'un point quelconque p à l'axe U et par B l'angle que fait avec U le plan polaire correspondant cr, on a

/•tango =: c,

c désignant une constante.

Pour établir cette relation, menons de/? une perpendiculaire L à U. Soit o le pied de cette perpendiculaire. La droite L lait partie du complexe (n" 18) et les plans polaires de ses divers points forment, en pivotant autour de L, un faisceau lîomographique à cette série de points (n° 22). On a, en conséquence, entre la distance /d'un quelconque de ces points à U et l'angle B du plan polaire correspondant avec le plan passant par L etU, c'est-à-dire avec U, une relation de la forme

r tango -\- ar -^ b tang0= c.

Mais le plan polaire du point à l'infini sur L passe par U. Par suite, pour rr=roo, la relation précédente doit donner tang0c= o. On en conclut <2 = o.

D'autre part, le plan polaire de o est perpendiculaire à U; ce qui exige que l'on ait tang^ r= oo, pour r = o. On en conclut 6 = o. La relation se réduit donc bien à

r tango ^ c.

37. Dans un système focal, les positions relatives de l'axe et de deux droites conjuguées quelconques sont fixées d'une manière très simple par le théorème suivant :

Dans un système focal, les distances de deux droites conjuguées à l'axe sont proportionnelles aux tangentes des angles aigus que font respectivement les deux droites avec cet axe.

Soient, en effet, D et D' deux droites conjuguées, /• et /' leurs distances respectives à l'axe U, 9 et ©' les angles que D et D' font respectivement avec cet axe. La perpendiculaire

commune I àD et à D' appartient au complexe (n° 18) et rencontre orthogonalement J'axe U (n° 21). Le plan polaire du point commun à D et à I passe par I et par D'. Il fait, par suite, avec U l'angle 9^ De même, le plan polaire du point commun à D' et à I passe par I et par D. Il fait, par suite, avec U l'angle 9. On a donc, en appliquant une relation déjà établie {n° 36),

d'où

/• tangcp^=: /•' tango ;

r tango

/•' tango'

Fiff. 3.

38. La répartition des droites du complexe autour de l'axe U est régie par une loi remarquablement simple, que l'on peut énoncer ainsi :

La plus courte distance d'une droite quelconque d'un complexe linéaire à l'axe de ce complexe est inversement proportionnelle à la tangente de l'angle aigu formé par ces deux droites (*),

Soit op la perpendiculaire commune à Taxe U et à une droite quelconque L du complexe {fig' 2). Désignons par r la plus courte distance op de ces deux droites et par 9 l'angle aigu formé par leurs directions respectives. La droite L, par hypothèse, et la droite op, par construction (n" 18), sont deux droites du complexe et, comme elles passent toutes deux par le point/?, leur plan est le plan polaire de p. L'angle B est égal à l'angle de ce plan avec U. Comme d'ailleurs /• est la distance du point/? à U, on a, d'après un théorème précédent (n° 36),

ridiU^B = c.

39. La relation (i) montre qu'un complexe linéaire est complètement déterminé par son axe et son paramèlre c. Il

C) Cette relation est en quelque sorte l'équation, réduite à sa forme la plus simple, d'un complexe linéaire. Nous en déduisons plus loin, dans une Note spéciale; l'équation générale d'un pareil complexe.

238 CHAPITHE I.

y a, toutefois, deux complexes satisfaisant à ces conditions : ils diffèrent par le sens dans lequel est compté l'angle B. Ces deux complexes sont néanmoins superposables. D'une manière générale, deux complexes linéaires sont égaux, c'està-dire superposables, lorsqu'ils ont le même paramètre c. Cette condition est nécessaire et suffisante.

Un complexe linéaire est défini complètement et sans ambiguïté, lorsque l'on connaît son axe et l'une quelconque des droites qui le composent. En effet, r^ étant la plus courte distance de ces deux droites et Qq l'angle aigu formé par leurs directions respectives, la valeur du paramètre c est déterminée par la relation c^=. r^ tang^o-

4-0. Sur les cylindres de révolution, ayant pour axe l'axe d'un complexe linéaire, considérons l'ensemble des hélices décrites dans le même sens et ayant pour pas commun

( 2 ) /l = 2 TT C,

C étant le paramètre de ce complexe. L'angle aigu Q que fait

la binormale à une pareille hélice tracée sur un cylindre de

rayon r avec l'axe de ce cylindre est, comme on le sait, donné

par la relation

h tango =

On en déduit, eu égard à la condition (2),

/• tango =:c.

C'est la relation (1). Donc :

Les droites cV un complexe linéaire ne sont autres que les hinormales à des hélices d'égal pas, tracées, dans un même sens, sur les divers cylindres de révolution ayant pour axe commun l'axe du complexe.

Nous appellerons ces hélices les hélices normales du complexe linéaire.

ki. Le plan normal à une pareille hélice, en l'un quelconque de ses points, contient la binormale à cette courbe en ce point et la perpendiculaire menée de ce point à l'axe du complexe. Cette dernière droite appartenant au complexe

(n° 18) ainsi que la binormale (n° 40), le plan normal est le plan polaire du point correspondant. z\insi :

Par rapport à un complexe linéaire, le plan polaire d'un point quelconque de l'espace est le plan normal de l'hélice normale qui passe par ce point (^).

Les deux dernières propositions auxquelles nous venons de parvenir (n°^ 40 et 41 ) fournissent l'image la plus nette que l'on puisse concevoir d'un complexe linéaire.

42. Le cas où le paramètre c est nul mérite de fixer l'attention. De la relation (i) on conclut alors soit r = o, soit tang 0 = G, c'est-à-dire B nul ou égal à 1 8o". Par suite, le complexe est formé des droites qui rencontrent l'axe U ou lui sont parallèles. Un pareil complexe linéaire est appelé complexe linéaire spécial. Tous les points de l'axe U sont des points singuliers du complexe; car toutes les droites passant par un tel point appartiennent au complexe. De môme, tous les plans passant par U sont des plans singuliers du complexe; car toutes les droites contenues dans un tel plan font partie du complexe.

Nous allons démontrer qu'un complexe linéaire ne peut admettre de point singulier ou de plan singulier, à moins d'être un complexe linéaire spécial.

43. Soit s un point singulier d'un complexe linéaire. Considérons une droite arbitraire D, qui ne passe par aucun point singulier et ne soit contenue dans aucun plan singulier du complexe. Les droites issues de s et situées dans le plan 5D font, par hypothèse, partie du complexe. Par suite, la conjuguée D' de D passe par le point s, pôle du plan .çD

(') De cette proposition et de deux tliéorèiiies démontrés plus haut ( n°' 10 et 11) on conclut facilement que : i" Les plans osculateurs d'une hélice, aux divers points de rencontre de cette courbe avec un plan quelconque, se coupent en un même point de ce plan.

1° Les points de contact d'une hélice avec les plans osculateurs qu'on peut lui mener par un point quelconque sont dans un même plan passant par ce point.

Il suffit, pour le voir, de considérer les hélices orthogonales de celles qui viennent de nous servir à définir le complexe linéaire.

240 CHAPIillE I.

(n° 12). Cela posé, imaginons que la droite J) se déplace dans un plan m, ne renfermant pas le point s. La conjuguée D' de D ne cesse alors de passer par le pôle p du plan tts (n° 12) et, comme elle passe d'ailleurs par 5, elle reste fixe. Nous allons maintenant démontrer qu'une droite quelconque L du complexe rencontre D'. Nous pouvons supposer que la trace / de L sur le plan cr ne coïncide pas avec p; car, pour ce cas particulier, il n'y a pas de démonstration à faire. Par / faisons passer une droite D dans le plan w. La conjuguée de 1) étant la droite fixe D', le pôle du plan des droites D et L est sur D' et la droite L, devant passer par ce pôle, rencontre D'. Toutes les droites du complexe rencontrent donc la droite fixe D' et le complexe est un complexe spécial. Ainsi :

Un complexe linéaire ne peut admettre aucun point singulier, à moins d'être un complexe spécial.

kh. Imaginons que, dans un complexe linéaire, il y ait trois droites concourantes oa, ob, oc. Il est facile d'en conclure que toute droite 0/ passant par o appartient au complexe, que, par suite, le point o est un point singulier et le complexe un complexe spécial (n*" 43). En effet, la trace oh du plan aol sur le plan hoc fait partie du complexe, puisque cette droite du plan boc contient le pôle o de ce plan. De même o/, passant par le point d'intersection des droites oa et oh du complexe et étant située dans le plan de ces deux droites, appartient au complexe. Donc, trois droites particulières d'un complexe linéaire ne peuvent passer par un même point, sans être dans un même plan, à moins que le complexe ne soit un complexe linéaire spécial.

45. Considérons un complexe linéaire admettant un plan singulier o-. Prenons une droite D, qui ne passe par aucun point singulier et qui ne soit contenue dans aucun plan singulier du complexe. Les droites du plan o-, qui passent par la trace <i de D sur ce plan, sont supposées faire parlie du complexe. Par suite, d est pôle de g et la conjuguée D' de D est dans ce plan (n° 14).

Imaginons que la droite D pivote autour d'un point/? extérieur à (T. La conjuguée D' de D reste constamment dans le

COMPLEXE LINÉAIRi:. — SYSTÈME FOCAL. 24 1

plan polaire m de p, et, comme elle est d'autre part dans le plan (T, elle est à l'intersection de ces deux plans.

Démontrons maintenant qu'une droite quelconque L du complexe rencontre D'. Nous pouvons supposer que cette droite n'est pas dans le plan nr, car, s'il en était ainsi, elle rencontrerait nécessairement D' qui est dans ce plan. Par le point p et dans le planjoL, menons une droite quelconque D. Cette droite ayant pour conjuguée D', le plan polaire du point d'intersection des droites D et L passe par D' (n° ik) et L, étant contenue dans ce plan, rencontre nécessairement D'. Toute droite L du complexe rencontrant D', le complexe est un complexe spécial. Ainsi :

Un complexe linéaire ne peut admettre un plan singulier à moins d'être un complexe spécial.

46. On conclut immédiatement de ce théorème que trois droites particulières d' un complexe linéaire ne peuvent être dans un même plan, sans passer par un même point, à moins que le complexe ne soit un complexe linéaire spécial.

Imaginons un complexe linéaire possédant trois droites A, B, C, situées dans un même plan ts et non concourantes. Soit L une droite quelconque de ce plan. La droite H qui joint le point de rencontre de B et de C au point de rencontre de A et L fait partie du complexe, puisqu'elle passe par l'intersection de B et de C et qu'elle est dans le plan de ces deux droites. De même, la droite L, passant par l'intersection des droites A et H du complexe et située dans le plan de ces deux droites, fait nécessairement partie du complexe. Le plan cr est donc un plan singulier et le complexe un complexe linéaire spécial.

V. — Construction d'un complexe linéaire contenant une droite donnée et admettant pour droites conjuguées deux autres droites données.

kl. Proposons-i^ous de construire les diverses droites d'un complexe linéaire, connaissant une de ces droites et un couple de droites conjuguées par rapport à ce complexe.

Nous résoudrons cette question de deux manières différentes, en cherchant successivement les droites du complexe qui passent par un point pris arbitrairement et les droites du complexe situées dans un plan également arbitraire.

Supposons données la droite L d'un complexe linéaire et les droites D et D' conjuguées par rapport à ce complexe (^).

Soit p un point quelconque, n'appartenant à aucune des droites D, D' et L. La droite A, menée par/? et rencontrant à la fois D et D', est évidemment une des droites cherchées (n° 18). Par p et la droite L faisons passer un plan. La droite B, joignant les traces de D et de D' sur ce plan, appartient au complexe (n° 18) et son point d'intersection q avec L est le pôle du plan ph. La droite pq est, par suite, une seconde droite du complexe. Les autres droites du complexe qui passent par p sont situées dans le plan déterminé par les droites pq et A.

Nous avons supposé que le point p n'appartenait ni à la droite D, ni à la droite D'. Si le point/» était sur une de ces droites, sur D par exemple, les droites du complexe, passant par ce point, seraient contenues dans le plan pW.

Si le point/? était pris sur la droite L, les droites du complexe qui passent par ce point seraient contenues dans le plan déterminé par L et par la droite issue de /?, qui s'appuie à la fois sur D et sur D'.

48. Résolvons le même problème, en cherchant les droites du complexe linéaire contenues dans un plan m qui ne passe par aucune des droites D, W et L. On obtient immédiatement une de ces droites A, en joignant les traces de D et de W sur le plan w (n° 18). Soit q le point de rencontre de L et de Ts5. Menons par q une droite B s'appuyant à la fois sur D et sur D'. La droite B appartient au complexe (n** 18) et détermine avec L le plan polaire du point q. La droite d'intersection de ce plan avec w fait également partie du complexe

(') La droite L n'est supposée rencontrer ni D, ni D'. Le problème serait impossible, si L ne rencontrait qu'une de ces droites. Il serait indéterminé, si L les rencontrait Tune et l'autre.

et coupe A en un point p, qui est le pôle du plan ttî. Les diverses droites passant par/» et contenues dans m appartiennent au complexe.

Nous avons supposé que le plan m ne passait ni par la droite D, ni par la droite 1)'. Si, au contraire, le plan e passait par D, les droites du complexe situées dans ce plan seraient celles qui passeraient par le point d'intersection de cj et de D'.

Si le plan cj contenait la droite L, les droites du complexe situées dans ce plan passeraient par le point de rencontre de L et de la droite joignant les traces de D et de D' sur le plan rn.

49. On peut se proposer encore de construire l'axe d'un complexe linéaire, contenant une droite donnée L et admettant un couple de droites conjuguées également données D etD'.

L'axe U du complexe est, comme on le sait (n*' 10), parallèle à l'intersection de deux de ses plans diamétraux. On a un premier plan diamétral a, en prenant un plan quelconque parallèle à la fois à D et à D' (n° 19). On obtient aisément le plan diamétral j3, qui contient la droite L : il doit passer par la droite K, parallèle à L, qui s'appuie à la fois sur D et sur D' (n» 18), et cette condition achève de le déterminer. L'axe cherché U doit donc être parallèle à l'intersection des plans a et p. D'ailleurs, il doit rencontrer les diverses droites du complexe dont la direction est perpendiculaire à la sienne et qui s'appuient sur D et D' (n" 17). On construit deux de ces droites G et H et l'on obtient l'axe U, en traçant une droite qui soit parallèle à l'intersection des plans a et (3 et qui s'appuie sur les droites G et H.

Connaissant l'axe U et l'une des droites L du complexe, on en conclut le paramètre de ce complexe, comme on l'a vu précédemment (n° 39).