On peut déduire de là que

Les normales aux surfaces trajectoires des points d'une droite sont les génératrices d'un même système d' une surf ace gauche du second degré qui, exceptionnellement, peut se réduire à un plan.

Remarquons d'abord que, d'après le théorème précédent (n° 72), deux quelconques des normales aux surfaces trajectoires des divers points d'une droite L ne peuvent se couper ou être parallèles, à moins que les normales correspondant à

tous les points de L ne concourent au point d'intersection des deux premières ou ne soient parallèles à leur direction commune. Dans ce cas particulier, les normales considérées sont toutes dans un même plan.

Écartons ce cas exceptionnel. Il existe alors deux droites A et A', réelles ou imaginaires conjuguées, qui rencontrent chacune toutes les normales aux surfaces trajectoires des divers points de L (n» 72). Ces normales forment donc bien un système de génératrices rectilignes d'une surface gauche du second degré.

75. Ce théorème va nous conduire à la notion et aux propriétés fondamentales des lignes ou surfaces focales d'une congruence de droites. Pour cela, nous allons démontrer la proposition suivante, que Ton trouve, sous une forme un peu différente, dans le Cours de Géométrie descriptive de M. Mannheim (^) :

Les droites d'unecongruencequelconque, considérées comme étant les diverses positions successives d'une même droite mobile, sont chacune tangentes aux surfaces trajectoires de deux de leurs points.

En effet, soit L une droite quelconque d'une congruence. On peut considérer les droites de cette congruence, infiniment voisines de L, comme autant de positions particulières de la droite L que l'on aurait déplacée, ses divers points restant sur certaines surfaces trajectoires, dont l'une d'ailleurs peut être prise arbitrairement.

Les normales aux surfaces trajectoires des points de L, menées aux divers points de cette droite, forment un système de génératrices d'une même surface gauche du second degré (n« 74). Or il y a deux de ces génératrices, F et F', réelles ou imaginaires conjuguées, qui sont perpendiculaires à L: elles sont respectivement parallèles aux droites suivant lesquelles le cône asymptotique de la surface est coupé par un plan mené par son sommet perpendiculairement àL. Il résulte de laque les surfaces trajectoires des points /et/' de rencontre

(') Deuxième édition, p. 279.

des droites F et F' avec la droite L sont tangentes à cette droite.

76. Suivant des dénominations consacrées par l'usage, les points /et/' sont ]es foyers de la droite L, les plans o et cp' menés par L respectivement perpendiculaires à F et F' sont les plans focaux correspondants de cette même droite et le lieu des foyers /et/' des diverses droites de la congruence est la surface focale de cette congruence.

Cette surface focale se composera généralement de deu\ nappes, lieux respectifs des points / et /'. Il pourra néanmoins arriver que ces nappes soient deux surfaces géométri- (juement distinctes. Dans certains cas aussi l'une d'elles se réduira à une ligne. Dans des cas encore plus particuliers, les deux nappes se réduiront à deux lignes distinctes ou à deux branches difTérentes d'une même courbe. Une ligne ou l'ensemble de deux lignes satisfaisant à ces conditions, c'est-à-dire rencontrant en deux points chaque droite d'une congruence, s'appelle /oca/e de cette congruence. On a vu précédemment que la focale d'une congruence linéaire est composée de deux droites (n° 54-).

77. Appelons surfaces d'une congruence les surfaces réglées dont les généralrices rectilignes sont des droites de cette congruence. Ces surfaces donnent lieu au théorème suivant :

Les surfaces d'une congruence, qui contiennent une même droite de cette congruence, sont toutes tangentes en deux points de cette droite. Ces points de contact et les plans tangents correspondants sont respectivement les foyers et les plans focaux de la droite.

En effet, déplaçons la droite L de la congruence sur l'une quelconque des surfaces de cette congruence qui la contiennent. Les tangentes aux trajectoires des foyers/ et/' de L sont situées respectivement dans les plans focaux cp et cp' (n" 75). Puisque les plans cp et cp' passent tous deux par L et renferment respectivement les tangentes en /et/' à deux courbes tracées sur la surface, ce sont les plans tangents à cette surface en / et en /'.

78. La surface focale d'une congruence jouit d'une propriété importante, qui peut s'énoncer ainsi :

Les droites d'une congruence sont doublement tangentes à la surface focale de cette congruence.

Imaginons, en effet, que nous déplacions une droite quelconque L de la congruence sur une des surfaces de cette congruence. Les foyers /et/' y décrivent respectivement des branches de courbes, qui appartiennent en même temps à la surface focale delà congruence. Par suite, les tangentes en / et en/' à ces branches de courbes sont respectivement dans les plans focaux correspondants cp et 9' (n°77) et dans les plans tangents en /et en/' à la surface focale. Toute droite menée par / dans le plan cp est donc située dans le plan langent, au même point, à la surface focale et, par suite, ces deux plans coïncident.

On voit de même que le plan cp' est tangent en/' à la surface focale.

79. Dans le cas où le lieu d' un foyer f est une courbe {focale), le plan focal correspondant cp est le plan déterminé par la droite L de la congruence, qui a pour foyer f, et par la tangente en ce point à la courbe.

On s'en rend compte en considérant ce cas comme une limite du précédent. On s'en assure plus directement, en imaginant que la droite L se déplace, sans cesser d'appartenir à la congruence, et remarquant que le plan cp coïncide avec le plan tangent en /à la surface engendrée, lequel contient la droite L et la tangente en /à la focale.

80. Imaginons l'ensemble des surfaces d'une congruence qui passent par une même droite L de cette congruence et considérons les plans tangents à ces surfaces, en deux points quelconques « et 6 de L. Il est facile de voir que, dans ces deux faisceaux de plans, les plans tangents en « et è à une même surface se correspondent anharmoniquement. En effet, les surfaces gauches de la congruence, qui touchent en a un plan a quelconque passant par L, ont en outre, aux points/ et/', foyers de cette droite, les mêmes plans tangents <p et 9';

par conséquent, elles se raccordent tout le long de L et ont en b le même plan tangent (3. On voit ainsi qu'à un plan a, appartenant au faisceau des plans tangents en a, correspond un plan unique (3, appartenant au faisceau des plans tangents en b. En vertu du même raisonnement, le fait inverse a évidemment lieu. Il y a donc correspondance anharmonique entre les plans a et (3 ; en d'autres termes ;

Les plans tangents correspondants^ en deux points quelconques d'une droite d'une congruence, aux sur faces de cette congruence qui passent par la droite, forment deux faisceaux honio graphiques.

81. Considérons encore les deux faisceaux formés des plans tangents en a et ^ aux surfaces de la congruence. Puisque ces faisceaux sont homographiques (n°80), il existe deux plans, réels ou imaginaires conjugués, passant par L, qui résultent chacun de la coïncidence de deux plans homologues des deux faisceaux. II y a, par suite, au moins deux surfaces 0- et 0-' de la congruence qui ont chacune le même plan tangent en a et en b. Or on sait qu'en pareil cas le plan tangent est invariable en tous les points de la droite, sauf en l'un d'eux, oij il est indéterminé. En conséquence, le plan tangent le long de L à la surface «r coïncidera, par exemple, avec le plan 9 (n<* 77), sauf au point/', où, devant en même temps coïncider avec 9' (n** 77), il sera indéterminé. De même, le plan tangent le long de L à la surface g' sera le plan 9', sauf en/, où il sera indéterminé, devant en même temps coïncider avec 9. On conclut de là que dans les surfaces c et g' il existe respectivement deux génératrices rectilignes infiniment voisines de L, qui rencontrent cette droite, l'une en/, l'autre en f . Ces génératrices étant des droites de la congruence, nous arrivons ainsi à un théorème remarquable, dû à Monge (^), que l'on peut énoncer de la manière suivante :

Dans une congruence^ une droite quelconque est rencontrée par deux des droites infiniment voisines.

(') Mémoires de l'Académie des Sciences, année 1781, p. 685.

26o CHAPITIll!: III.

Nous avons établi en outre que les deux points de rencontre sont les foyers de la première droite et que les plans passant respectivement par cette droite et les deux autres sont les plans focaux correspondants,

11 résulte encore de ce qui précède que, parmi les surfaces de la congruence qui passent par une droite de cette congruence, il y a deux surfaces développables.

82. Nous signalerons, pour terminer ces considérations générales sur les congruences, une conséquence immédiate de l'un des théorèmes précédents (n° 80) qui donne lieu à un énoncé assez élégant. Prenons quatre quelconques des surfaces de la congruence qui passent par la droite L. Puisque les plans tangents en a et les plans tangents en h à ces quatre surfaces font respectivement partie de deux faisceaux homographiques, leurs rapports anharmoniques sont égaux. Donc :

Pour quatre surfaces quelconques d' une congruence, contenant une même droite de cette congruence, le rapport anharmonique des plans tangents à ces surfaces, en un point quelconque de la droite commune , reste constant, quand le point se déplace sur cette droite.

83. Ce théorème et celui dont nous l'avons déduit se transforment aisément, à l'aide du principe de dualité. Il nous paraît inutile d'en donner les énoncés.

Nous ferons enfin remarquer que la plupart des propositions sur les congruences de droites, qui viennent d'être exposées, peuvent s'étendre aux congruences de lignes courbes. On en trouvera l'énoncé et la démonstration dans les Leçons sur la théorie générale des surfaces de M. Darboux (').

n. — Surface des singularités d'un complexe.

Sk. Soit L une droite quelconque d'un comi)lexe €. Les droites de ce complexe, qui passent par un point quelconque/j de L, forment un cône qui contient cette droite. Le plan ttt,

(•) IP Partie, p. i à 8.

langent au cône le long de L, peut être considéré comme correspondant hp; il est tel que la courbe du complexe, qui y est située, est tangente en /> à L. Inversement, à un plan rn passant par L correspond un point/? de L, en lequel la courbe du complexe, située dans le plan w, est tangente à cette droite. Il est clair, d'ailleurs, que le cône du complexe, ayant son sommet en /;, est alors tangent au plan v^ le long de L. Ainsi se trouve établie, par l'intermédiaire du complexe C, une correspondance anbarmonique entre les points de la droite L et les plans qui passent par cette droite.

Soient^ la distance du point/? aune certaine origine sur L et 6 l'angle du plan rn avec un certain plan fixe passant par cette droite. La correspondance anbarmonique entre les points p et les plans tit s'exprime par une relation de la forme

(1) ^tang6 — Xtang6 — |jL.r -h v=r o.

85. Parmi les droites du complexe €, considérons celles pour lesquelles la relation précédente est telle que X[x = v. Ces droites K forment une certaine congruence. Voyons de quelles propriétés particulières elles jouissent par rapport au complexe. La relation (i) peut alors s'écrire

{a; — X) (tangO — ;ji) =0.

On en conclut que, quelle que soit la valeur donnée à jc, tang 9 conserve la valeur constante [x, c'est-à-dire qu'à tous les points d'une droite K correspond un seul et même plan w. Pareillement, quelle que soit la valeur donnée à 0, ^ reste constamment égal à X, ce qui signifie qu'à tous les plans passant par K correspond sur cette droite un seul et même point o. Alors o est le point de contact de K avec toutes les courbes du complexe situées dans les plans passant par cette droite et to est le plan tangent le long de K à tous les cônes du complexe qui y ont leur sommet.

Les droites présentant la particularité que nous venons de signaler ont reçu le nom de droites singulières du complexe. Les points tels que o et les plans tels que co sont appelés respectivement points singuliers et plans singuliers de ce complexe.

86. Le cône du complexe, qui a pour sommet un point singulier o, admet comme génératrice la droite singulière K qui passe en o, et il résulte de ce qui précède {n^ 85) que le plan tangent au cône, le long de la génératrice K, est indéterminé. Par suite, K est une génératrice double du cône. On voit ainsi que :

Les points singulières d'un complexe sont les sommets des cônes de ce complexe qui possèdent une génératrice double.

De même, les plans singuliers d'un complexe sont les plans des courbes de ce complexe qui possèdent une tangente double.

Cette proposition s'établit aussi aisément que la précédente. Elle en résulte d'ailleurs immédiatement, en vertu du principe de dualité.

87. Les points singuliers d'un complexe forment évidemment une surface. Les plans singuliers de ce complexe enveloppent de même une surface. Nous allons démontrer que ces deux surfaces n'en font qu'une et nous lui donnerons le nom, qu'elle mérite ainsi à un double titre, à^ surface des singularités du complexe.

Considérons, à cet effet, une congruence G commune à deux complexes C et C. Soit L une droite quelconque de cette congruence. Les deux complexes C et C permettent respectivement, comme nous l'avons indiqué plus baut (n" 84-), d'établir deux correspondances anharmoniques entre les points/? de L et les plans m qui passent par celte droite. Les deux points p, qui, en vertu de ces correspondances, correspondent à un même plan variable w, forment deux séries homograpbiques de points sur la droite L. Désignons par / et/' les deux points communs à ces deux séries, par 9 et 9' les plans qui leur correspondent respectivement, à la fois dans les deux correspondances. Les cônes des deux complexes, qui ont pour sommet commun le point /, ont pour génératrice commune la droite L et pour plan tangent commun, le long de cette génératrice, le plan 9. Il en résulte que la droite L', passant par/ dans le plan 9 et infiniment voisine de L, appartient en même temps aux deux complexes C et C

et, par suite, à la congriience 3. Le point/, étant à l'intersection de deux droites infiniment voisines de cette congruence, est un foyer de celle-ci et le plan 9 qui les contient est le plan focal correspondant (n°81). Le point/' et le point cp' sont respectivement, pour les mêmes raisons, le second foyer et le second plan focal relatifs à la droite L.

88. Il convient d'ailleurs de remarquer que le plan 9 n'est pas le plan langent en/ à la surface focale de la congruence. En effet, le plan des deux droites L et L', c'est-à-dire le plan 9, est tangent à celle des deux développables de la congruence passant par L, qui est circonscrite à la nappe focale contenant /'. Le plan 9 est donc tangent à la surface focale en /' et, de même, le plan 9' est tangent à cette surface en/.

89. Supposons maintenant que 3 soit la congruence formée des droites singulières du complexe C. On peut considérer cette congruence comme comprenant la totalité ou une partie des droites communes au complexe C et à un second complexe C. Soit K une droite singulière de €, o le point singulier situé sur K et w le plan singulier passant par cette même droite. En vertu de la correspondance anharmonique que le complexe C nous permet d'établir entre les points de K et les plans passant par K (n*' 84), au point o correspond un certain plan coi et au plan co un certain point o,. D'ailleurs, puisque K est une droite singulière du complexe <C, en vertu de la correspondance anharmonique dérivant de ce complexe, au point o correspond un plan quelconque passant sur K et, en particulier, le plan Wj. De même au plan co correspond un point quelconque de K et, en particulier, le point o, (n" 80). Il résulte de là que les points o, o, sont les foyers et que les plans w, wi sont les plans focaux afférents à la droite K de la congruence 3 (n° 87). D'ailleurs, suivant la remarque faite plus haut (n*' 88), c'est le plan focal o) qui est tangent en o à la nappe de la surface focale de la congruence G qui contient ce point. Cette surface focale se décompose donc ici en deux surfaces distinctes et l'une de celles-ci est en même temps le lieu des points singuliers et l'enveloppe des plans singuliers du complexe C.

90. Le théorème très important que nous venons de démontrer peut s'énoncer de la manière suivante :

Dans un complexe de droites, la surface lieu des points siîiguliers a pour plan tangent, en chaque point, le plan singulier correspondant. Cette surface est, par suite, identique à la surface enveloppe des plans singuliers. Elle forme l' une des nappes de la surface focale des droites singulières.

La démonstration si simple qui nous a servi à établir cette proposition fondamentale ne diffère que dans les détails de celle qui est due à M. Pasch (^). Elle fournit un heureux exemple de l'intervention de la Géométrie projective la plus élémentaire dans la solution d'une question dont l'Analyse ne vient à bout qu'avec un certain déploiement de calculs et sans y apporter plus de rigueur.

LE COMPLEXE TÉTRAÉDRAL.

L — Définition et génération du complexe tétraédraL

91. Le complexe connu sous le nom de complexe tétraédral, dont nous allons étudier dans ce Chapitre les principales propriétés, est le plus simple des complexes du second ordre.

En général, la surface des singularités d'un complexe quadratique est du quatrième degré et de la quatrième classe. Mais cette surface peut dégénérer en un système formé de quatre plans et des quatre points d'intersection de ces plans trois à trois, autrement dit se réduire à un tétraèdre. Le com-

( ' ) Journal fur die reine und angewandte Mathematik von Borchardt, LXXVI Band (année 1873).

LE COMPLEXE TÉTRAfiDRAL. 205

plexe correspondant se réduit alors lui-même à sa variété la plus simple, que l'on appelle le complexe tétraédraL

92. Sans vouloir aborder ici l'étude du complexe général du second ordre, nous allons démontrer la proposition, que nous venons d'énoncer (n°91), concernant la surface des singularités d'un pareil complexe (*), puisqu'elle nous sert de base pour définir le complexe tétraédral.

Chercbons la classe de cette surface des singularités, c'està-dire le nombre des plans singuliers du complexe qui passent par une droite quelconque 1). Les cônes du complexe qui ont pour sommets respectifs trois points quelconques de cette droite se coupent en huit points. Le plan qui passe par l'un de ces points et par la droite D est un plan singulier du complexe; car, parmi les droites du complexe qu'il contient, il y en a au moins trois qui passent par le point, ce qui exige que la conique du complexe située dans le plan soit infiniment aplatie. Les huit plans, obtenus de la sorte, coïncident d'ailleurs deux à deux; parce que tout plan singulier renferme nécessairement deux points, les deux extrémités de la conique aplatie, en chacun desquels se croisent une infinité de droites du complexe. Il y a donc bien quatre plans singuliers du complexe qui passent par la droite D, et la surface des singularités est de la quatrième classe.

On démontrerait d'une manière toute semblable, et l'on conclut d'ailleurs immédiatement de l'application du principe de dualité, que la surface des singularités est du quatrième degré (-).

93. Il semble naturel d'admettre que cette surface puisse dégénérer en un ensemble de quatre plans et des quatre points résultant des intersections de ces plans, de manière à se réduire à un tétraèdre efgh. Les quatre points singu-

(') Cette démonstration très simple est empruntée à M. Reye {Leçons sur la Géométrie de position, 2* édition, traduction française de M. Chemin, t. II, p. 3oo).

(*) Cette surface, connue sous le nom de surface de Kumnier, du nom de réminent géomètre qui l'a découverte et étudiée le premier, possède des propriétés très intéressantes qui ont fait l'objet de nombreuses recherches.

liers situés siu' une droite quelconque seraient à l'intersection de cette droite et des quatre faces du tétraèdre; les quatre plans singuliers passant par une droite quelconque seraient les plans déterminés respectivement par cette droite et par les quatre sommets e, f, g-, h. Nous allons voir, en effet, qu'il existe un complexe quadratique admettant une pareille surface des singularités.

Les droites singulières du complexe (n°85), devant être tangentes à la surface des singularités, ne peuvent être que des droites passant par un des sommets ou contenues dans une des faces du tétraèdre ef§-h.

Cela posé, le cône du complexe qui a pour sommet un point quelconque m du plan d'une de ces faces, de la face efg par exemple, doit se décomposer en deux plans, dont l'intersection ml, qui est une droite singulière du complexe, doit être tangente en m à la surface des singularités, c'est-à-dire être contenue dans le plan efg. D'autre part, les deux plans devant être tangents à la surface des singularités (n'^OO), il faut de toute nécessité que l'un soit le plan efg et l'autre le plan mlh; de sorte que le cône du complexe, ayant son sommet en m, se décompose en deux faisceaux de droites respectivement situés dans ces deux plans. On voit ainsi que toutes les droites passant par m dans le plan efg et, par conséquent, toutes les droites de ce plan appartiennent au complexe.

On verrait de même, et l'on peut d'ailleurs conclure de ce qui vient d'être dit, en vertu du principe de dualité, que toutes les droites qui passent par l'un quelconque des sommets du tétraèdre appartiennent également au complexe.

9k. Il résulte immédiatement de ce qui précède que tous les cônes d'an complexe tétraédral, si un tel complexe existe, passent par les quatre sommets du tétraèdre qui lui correspond. En effet, parmi les droites du complexe qui passent par un point quelconque/? se trouvent les droites qui joignent ce point aux quatre sommets du tétraèdre. Le cône du complexe, qui a son sommet en /?, contient donc ces quatre droites et, par suile^ les quatre sommets du tétraèdre.

On voit pareillement que toutes les coniques d'un complexe tétraédral^ à supposer qu'un pareil complexe existe, sont

LE COMPLEXE TÉTRAÉDRAL. 267

tangentes aux quatre faces du tétraèdre correspondant. En effet, les droites du complexe situées dans un plan vs quelconque comprennent les droites d'intersection de ce plan avec les quatre faces du tétraèdre. La conique du complexe, contenue dans le plan ttt, est donc tangente à ces quatre droites et, par conséquent, aux quatre faces du tétraèdre.

95. Nous allons maintenant démontrer que dans le complexe tétraédral, s'il existe, le rapport anharmonique des quatre plans déterminés respectivement par une droite quelconque de ce complexe et les quatre sommets du tétraèdre correspondant est constant.

Nous démontrerons, pour cela, que ce rapport anharmonique est le même pour deux droites quelconques du complexe, et nous supposerons successivement que les deux droites soient et ne soient pas dans un même plan.

Les deux droites L et L' étant supposées dans un même plan, soit p leur point d'intersection. Le cône du complexe qui a son sommet en p contient les quatre droites pe, pf\ pg Qi ph (n° 9i). Donc, d'après un théorème bien connu, le rapport anharmonique des quatre plans L/>e, L/?/, hpg, Lpli est égal au rapport anharmonique des quatre plans L' pe, h'pj, L'pg, L'ph.

Supposons maintenant que L et L' soient deux droites quelconques du complexe. Il existe une infinité de droites de ce complexe qui rencontrent à la fois L et L'. En effet, le cône du complexe, ayant son sommet en un point arbitraire de L, coupe L' en deux points. En joignant l'un de ces points au point pris sur L, on obtient une droite A qui unit les deux droites L et L^ Mais, d'après la première partie de la démonstration, les rapports anharmoniques (Le, L/, Lg, Lh) et {L'e, L'/, L'g, L' h) sont tous deux égaux au rapport anharmonique (Ae, A/, A^, Ah). Donc ils sont égaux entre eux, comme il s'agissait de le démontrer.

96. L'existence et la génération du complexe tétraédral se trouvent maintenant établies. On voit, en effet, par ce qui précède, qu'étant donné un tétraèdre^ l'ensemble des droites, telles que les plans passant respectivement par l'une quel-

conque d^entre elles et par les quatre sommets du tétraèdre aient un rapport anharmonique constant, forme un complexe du second ordre, dont la surface des singularités se réduit aux quatre sommets et aux plans des quatre faces du tétraèdre.

Nous appellerons tétraèdre principal et rapport anharmonique d'un complexe létraédral le tétraèdre et le rapport anharmonique qui servent à le définir et à l'engendrer. Les sommets et les plans des faces de ce tétraèdre seronl appelés respectivement points principaux et plans principaux du complexe.

D'un remarquable théorème dû à Staudl, il résulte immédiatement que le rapport anharmonique d' un complexe tétraédral est en même temps égal au rapport anharmonique des points d intersection d'une droite quelconque de ce complexe avec les quatre faces du tétraèdre principal.

97. Nous allons démontrer le théorème de Staudt, en démontrant d'abord la proposition suivante, sur laquelle nous aurons à nous appuyer :

Etant donnés un triangle abc et une droite quelconque D dans

son plan, le rapport anharmonique du faisceau formé de la droite ]) et des droites joignant un point quelconque m de D aux points a,b^ c est égal au rapport anharmonique du point m et des points /i, p, q, où la droite D coupe respectivement les droites bc, ca, ab.

En effet, en désignant par / le point de rencontre de ma et de bc {fig. 3), on a, d'après les propriétés les plus connues du rapport anharmonique :

(m, n,p, q) = (/, n, c, b) — {ml, mn, me, mb) ■=. {ma, mn, me, mb) = {mn, ma, mb, me).

LE COMPLEXE TÉTRAÉDRAL. 269