I. — Lignes et surfaces focales d'une congruence

72. Nous allons tout d'abord donner une démonstration très simple (^) d'un beau théorème dû à Schônemann, auquel M. Mannheim a donné une portée considérable, dans ses importants travaux de Géométrie cinématique. Ce théorème se déduit presque immédiatement des premiers éléments de la théorie des congruences linéaires. Il nous sera d'ailleurs utile dans ce qui va suivre. On peut l'énoncer ainsi :

Les normales aux surfaces trajectoires des points d'un solide invariable, pour une position quelconque de ce solide, s'appuient en général sur deux mêmes droites.

Elles peuvent être, exceptionnellement, concourantes ou parallèles.

Nous allons faire voir, en effet, que ces normales forment une congruence linéaire. La proposition à démontrer devien-

(*) Cette démonstration se trouve résumée dans le Bulletin de la Société mathématique de France, t. XIX, p. 58.

dra alors une conséquence immédiate d'un théorème établi plus haut (n°54.).

73. Par tout point de l'espace considéré comme appartenant au solide, dans une de ses positions particulières, passe une normale, la normale à la surface trajectoire de ce point. Nous établirons qu'il n'en passe qu'une, en démontrant que deux pareilles normales N et N' ne peuvent se rencontrer, à moins que toutes les normales ne soient concourantes, ce qui correspondrait à l'un des cas exceptionnels prévus dans l'énoncé du théorème. Supposons, en effet, que N et N' se rencontrent en un certain point i : ou bien ce point sera fixe, aux infiniment petits d'ordi'e supérieur près, et alors toutes les normales iront y concourir; ou bien le point i sera mobile; mais, dans cette hypothèse, deux points du solide, respectivement situés sur N et N' décriraient des surfaces parallèles à la surface décrite par i, ce qui ne peut avoir lieu que si les droites N et N' coïncident.

D'ailleurs ce qui vient d'être dit, au sujet du point ?, s'applique quelque éloigné que l'on suppose ce point. Deux normales ne peuvent donc être parallèles à une même direction, à moins qu'elles ne soient toutes parallèles à cette direction.

Du raisonnement qui précède nous concluons que, en dehors des deux cas signalés plus haut, il ne peut y avoir plus d'une normale passant par un point quelconque ni plus d'une normale contenue dans un plan quelconque. Ces droites forment donc une congruence linéaire et, par conséquent, s'appuient sur deux mêmes droites (n° 54).