II. — Quadriques d'un complexe tétraédral

102. Par deux droites quelconques d'un complexe tétraédral et les points principaux de ce complexe passe une surface réglée du second degré, dont un système de génératrices rectilignes est composé de droites du complexe.

En effet, soient L et L' deux droites quelconques du complexe. J.es plans Le, Lf, Lg, Lh et les plans L'e, L'f, L'g, L'h font respectivement partie de deux faisceaux homographiques,

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LE COMPLEXE TÉTRAÉDRAL 278

puisque le rapport anharmonique des quatre premiers est égal à celui des quatre autres (n°9o). La droite d'intersection de deux plans homologues quelconques de ces deux faisceaux engendre par suite une surface du second degré, qui contient les droites L et L', ainsi que les points e, /, g-, h, puisqu'elle contient les droites E, F, G, H, suivant lesquelles les plans Le, L/, L^, L/i coupent respectivement les plans L'e, L'/, L'^,L7i.

Nous allons maintenant démontrer qu'une quelconque des génératrices rectilignes de la surface, faisant partie du système auquel appartiennent L et L', est une droite du complexe.

En effet, une telle génératrice h" s'appuie sur les droites E, F, G, H, puisque ces droites sont des génératrices rectilignes de l'autre système, et, d'après un théorème bien connu, le rapport anharmonique des quatre plans L"E, L"F, L"G, L"H est égal à celui des quatre plans LE, LF, LG, LH, c'est-à-dire au rapport anharmonique du complexe. Or les plans L"E, L"F, L"G, L"H passent respectivement par la droite L" et les quatre points principaux e, /, g^ h. Cette droite satisfait donc bien à la loi qui régit toutes les droites du complexe.

103. Nous appellerons quadriques circonscrites du complexe télraédral les surfaces réglées du second degré, dont nous venons de définir le rôle par rapport au complexe. Ces quadriques satisfont à cinq conditions communes; en effet, elles doivent toutes contenir les quatre points principaux du complexe et le rapport anharmonique des quatre plans qui passent respectivement par ces quatre points et par une quelconque des génératrices rectilignes de l'un des systèmes d'une pareille quadrique doit être égal au rapport anharmonique du complexe. Les quadriques circonscrites d'un complexe tétraédral forment donc un ensemble quadruplcment infini. Cet ensemble comprend, outre des surfaces gauches, des cônes et des cylindres, qui sont les cônes et les cylindres du complexe.

104-. Du théorème précédent on conclut immédiatement un théorème corrélatif, qui peut s'énoncer ainsi :

Par deux droites d'un complexe tétraédral on peut faire