III. — Cubiques gauches d'un complexe tétraédral

110. Par les points principaux e, /, g, h d'un complexe tétraédral et par deux points p et/?', pris arbitrairement, qui ne soient par suite en ligne droite avec aucun des quatre points principaux, on peut faire passer une cubique gauche C3 et une seule. Supposons que les points p et p' soient pris sur une des droites du complexe. 11 est facile de voir que toutes les cordes et, en particulier, toutes les tangentes de la cubique C3 seront alors des droites du complexe. Une première corde de cette cubique est la droite pp\ qui, par hypothèse, appartient au complexe. Considérons une autre corde qq , joignant deux points quelconques q et q' de C3. D'après un théorème bien connu, le rapport anharmonique des quatre plans qui passent par la droite qq^ et par les points e, /, g, h de la cubique C3 est égal au rapport anharmonique des plans qui passent par la droite pp' et par les mêmes points. Or ce rapport anharmonique est égal à celui du complexe. Donc la droite qq' fait partie du complexe.

Les cubiques telles que C3, dont les cordes sont des droites du complexe, sont complètement déterminées, quand on les assujettit à passer par un point p arbitraire et par un second point p' , pris sur le cône du complexe, qui a son sommet en p. Leur ensemble dépend, par suite, de trois paramètres variables. Nous avons donc démontré ce théorème :

// existe une infinité triple de cubiques gauches dont les cordes appartiennent à un même complexe tétraédral.

Ces cubiques passent par les points principaux du complexe.

Par deux points pris arbitrairement sur une droite quelconque du complexe il passe une de ces cubiques et il n'en passe qu'une.

LE COMPLEXE TÉTRAÉDRAL. 277

111. On peut dire que, parmi les cubiques gauches, en nombre quadruplement infini, qui passent par les quatre points principaux d'un complexe tétraédral, celles-là sont des cubiques du complexe qui sont capables d'un rapport anbarmonique égal à celui du complexe, c'est-à-dire qui sont telles que les plans passant par une corde quelconque de cette cubique et les quatre points principaux aient un rapport anbarmonique égal à celui du complexe.

112. Lorsque la droite/?/?' passe par l'un des points principaux du complexe, le point e par exemple, la cubique C3 se décompose en cette droite et en une conique circonscrite au triangle /^/i. Le théorème énoncé plus haut (n^llO) subsiste néanmoins ; les cordes de la cubique sont, d'une part, les cordes de la conique, c'est-à-dire les droites du plan fgh^ qui on l'a vu (n° 93), appartiennent bien au complexe, et, d'autre part, les droites, faisant également partie du complexe, qui joignent un point quelconque de pp' à un point quelconque de la conique.

113. Par une droite quelconque L d'un complexe tétraédral passent une infinité de quadriques circonscrites de ce complexe (n** 103). Considérons deux de ces quadriques. Ces deux surfaces, ayant une génératrice rectiligne commune L, se coupent en outre suivant une cubique gauche, qui rencontre, comme on le sait, la droite L en deux points et qui passe par les quatre points principaux du complexe, puisque ces quatre points appartiennent à la fois aux deux quadriques (103). Cette cubique est, par suite, une cubique du complexe. De là le théorème suivant :

Deux quadriques circonscrites d'un complexe tétraédral, qui ont en commun une droite du complexe, se coupent suivant une cubique de ce complexe.

114-. Soient L, L^ h" trois droites quelconques d'un complexe tétraédral. Par L et L' passe une des quadriques circonscrites de ce complexe. Par L et L'^ passe une autre de ces surfaces. Ces deux quadriques, ayant en commun la droite L, se coupent suivant une cubique gauche. Cette

278 CHAPITRE y

courbe a, d'ailleurs, pour cordes la droite L et par suite aussi les droites L' et L". Elle passe en outre, comme les deux surfaces dont elle est l'intersection, par les quatre points principaux du complexe. C'est donc une cubique de ce complexe. On remarquera que la démonstration précédente serait en défaut, si les trois droites étaient trois génératrices d'un même système d'une quadrique circonscrite du complexe. En conséquence, on peut dire que :

Trois droites d'un complexe tétraédral, qui ne sont pas des génératrices d'un même système d'une quadrique circonscrite du complexe, sont des cordes d'une même cubique de ce complexe.

GÉNÉRATION DES CONGRUENCES DE DROITES DU PREMIER ORDRE ET DE CLASSE QUELCONQUE.

115. Conformément à une définition générale donnée plus haut (n° 3), une congruence de droites du premier ordre et de la /i^"^« classe est un ensemble doublement infini de droites, tel que par tout point arbitraire il en passe une et une seule, et qu'il y en ail n d'entre elles contenues dans un plan quelconque.

Kummer, dans un Mémoire célèbre (^), a fait connaître un mode de génération de ces congruences de la plus élégante simplicité. On peut, comme nous allons le faire, établir ce résultat si remarquable par une voie plus directe que celle suivie par l'illustre géomètre (^). Le mode de raisonnement qui nous servira n'est qu'une généralisation de celui par

( ') Ueber die algebraischen strahlen Système {Matheinatische Abhandlungen der kôniglichen Akademie der Wissenschaften zu Berlin, année 1886, p. i à 120).

(») Nous avons déjà publié une Note sur ce sujet dans les Rendiconti del Circolo matematico di Palermo, t. VI, p. G3 à 67; 1892.

GÉNÉRATION DES CONGRUKNCES DU PREMFER ORDHE. 279

lequel nous avons déjà démontré la propriété fondamentale, que possèdent les droites d'une congruence linéaire, de rencontrer deux mêmes droites fixes (n° 5^).

116. Commençons par établir deux propositions préliminaires, concernant les congruences du premier ordre et de la /i'^"^ classe, que nous appellerons, pour abréger le langage, congruences (i, n).

Les droites d'une corigrueîice (i, n), qui rencontrent une même droite fixe arbitraire, forment une surface gauche du {n + i)^^™*' degré (*).

Par la droite fixe D faisons passer un plan quelconque îït. Il est bien clair que ce plan ne peut couper la surface gauche (T, qui vient d'être définie, que suivant une ou plusieurs droites; car une droite de la congruence, qui rencontre D, ne peut couper le plan tjs en un second point, sans y être contenue tout entière. Or, par définition même, ji droites de la congruence sont dans le plan m. D'ailleurs, la droite D est une ligne simple de o-, puisque par chaque point de D passe une droite, et une seule, de la congruence. La surface gauche a est ainsi coupée par tout plan contenant D suivant n -h I droites. Elle est donc du {n -t- if^^^ degré.

117. Les diverses surfaces gauches engendrées par les droites d'une congruence (i, /i), qui s'appuient sur des droites d'un même plan, concourant en un même point, forment un faisceau ponctuel et ont, en plus de n -\- i droites communes, une intersection commune de degré n{n -i- i) (-).

Soit un faisceau de droites D, situées dans un même planer et concourant en un même point p. Chaque droite D donne lieu à une surface gauche o-, engendrée par les droites de la congruence qui la rencontrent. Par tout point a, pris arbitrairement, passe une des surfaces a et une seule. Par ce point, en effet, passe une droite L, et une seule, de la congruence. Cette droite L est rencontrée par une des droites D,

(') Ce théorème est uae généralisation de celui qui a été énoncé et démontré au n° 52.

{") Ce théorème généralise celui qui fait l'objet du n" 53.

28o CHAPITRE V.

celle qui joint /? à la trace de L sur le plan w, et à cette droite D correspond une des surfaces a, la seule qui passe par le point a. Ces surfaces étant assemblées de telle manière que par un point quelconque il en passe une, et une seule, forment un faisceau ponctuel. Elles ont d'ailleurs en commun les n droites de la congruence situées dans le plan GT et la droite de cette congruence qui passe par le point/?; le reste de leur intersection est donc d'un degré

Il est facile de voir que ce lieu de degré /i(/i -h i) est rencontré en deux points par chacune des droites de la congruence. En effet, une droite quelconque L de la congruence doit couper en /z -h i points l'une quelconque des surfaces gauches d'ordre n-\-i considérées plus haut (n'' 116), soit la surface o-. Mais la droite L, faisant partie d'une de ces surfaces gauches, ne peut couper g que sur le lieu C, de degré n{n -h i), intersection commune de ces surfaces. D'ailleurs L ne peut rencontrer le lieu C en un point unique; car ce lieu serait une ligne multiple d'ordre /i -h i sur la surface o-, ce qui est impossible. D'autre part, la droite L ne peut s'appuyer sur C en plus de deux points; car alors l'ensemble dont elle fait partie ne serait pas doublement infini. Donc L rencontre C en deux points.

118. Nous pouvons maintenant démontrer la proposition suivante :

Excepté la congruence du premier ordre et de la troisième classe, composée des cordes d'une cubique gauche, toute congruence du premier ordre et de la /i'èuie classe est formée des droites qui s'appuient à la fois sur une même droite et sur une même courbe gauche du /iième degré, rencontrant cette droite en n — i points.

Reprenons le faisceau des droites D concourant en un même point arbitraire p, dans un même plan arbitraire nr, et considérons le faisceau des surfaces gauches c, engendrées par l'ensemble des droites L de la congruence, en s'appuyant sur les diverses droites D. Le lieu C de degré « ( /i + i ),