AVANT-PROPOS

L'essai qui va suivre esi la suiie et le complément naturel de trois éludes sur V Ancienne et les Nouvelles géométries, qui ont paru dans la Revue philosophique (tome XXXVI, nov. 1895 ; tome XXXVJl, avril 1895; tome XXXVllI, août 1894) '.

Dans la première, j'établissais que l'espnce réel n'est pas représenté par l'espace euclidien; que celui-ci est homogène et admet des figures semblables, c'est-à-dire ne différant que par la grandeur; qu'il est partout identique à lui-même, invariable, fini, discontinu, pénéirable, contradictoire et, partant, sans existence; tandis que l'espace réel ne comporte ni figures semblables ni figures égales, qu'il est nécessairement et incessamment variable, qu'il est illimité, continu, impénétrable et cohérent. Ces antithèses, je les légitimais en montrant l'impossibilité de réduire proportionnellement, sans qu'on s'en aperçoive, toutes les dimensions, par exemple de la Terre et de ses habitants; que, pour que semblable réduction passât inaperçue, il faudrait « poser en fait que les phénomènes de toute nature, physiques, vitaux et psychiques sont attacliés uniquement à des figures géométriques, ce qui reviendrait à soutenir que des cubes, des cylindres et des pyramides, peuvent réagir les uns sur les autres, vivre et penser. Alors naturellement toute altération

' La Revue devait publier le présent travail et elle en avait fait paraître une partie en avril ISliri. Le texte du reste a été composé en entier et les figures gravées. Mais dans la crainte — légitime sans doute — (|ue le morceau ue fût trop dur à digérer pour ses lecteurs bal)ituels, elle eu reculait de mois en mois l'insertion. J'ai Gui par le retirer.

proportionnelle des dimensions n'enlrainerail d'autre conséquence que celte altération même •. »

Dans la deuxième étude, je m'efforçais de faire saisir ce que c'étaient (jue les métagéométries de Riemann et de Lobatschewsky, et d'en justifier la conception. On sait que, dans un plan Ricmanii, par un point on ne peut mener de parallèle à une droite, et que, dans un plan Lobatschewsky, par un point on peut mener un faisceau de non-sécantes à une droite. Inutile de rappeler que le posiulatnm d'Euclide énonce que par un point on peut toujours mener une parallèle, mais rien qu'une parallèle à une droite*. J'accordais que, dans un certain sens, ces liéoméiries sont plus générales que la géométrie euclidienne et la comprennent l'une et l'autre comme cas particulier. Mais en même temps je faisais voir qu'elles s'appuyaient toutes deux sur la géométrie traditionnelle, qu'elles n'en étaient au fond qu'une extension. C'est ainsi qu'un système de 71 équations du premier degré à n inconnues est plus général qu'une équation à une inconnue et implique celle-ci comme cas particulier, mais au fond la résolution du système repose sur celle d'une équation à une inconnue. Je faisais aussi sentir que l'étrangeté des métagéométries provenait de l'emploi des termes du dictionnaire géométrique usuel dans un sens nouveau et détourné; que, du reste, cet emploi, qui, dans les premiers moments, déroulait l'esprit, était admirablement approprié à mettre en évidence les points d'attacbe cl les analogies de l'espace euclidien avec les esjJHces méteuclidiens, et à faire d'Euclide le garant de Lobatschewsky et de Uiemann.

' Hcvue jihilosopliique, janvier 1894, p. 82. Voir aussi mon Mcgamicros, Paris, l'L'lix Alcaii, 18Ur>.

' Si je ne 1 rait;riais de créer des mois barbares, je proposerais de dénommer ces trois j;éométries : aparallcte, polyparallèlc, rnonoparallèlc.

Enfin, dans la troisième étude, j'exposais combien les bases de la géométrie d'Euelide étaient fragiles, combien les définitions des notions fondamentales étaient fautives, quel arbitraire régnait dans l'énumération des axiomes et des demandes, quelles divergences séparaient les différents auteurs de traités de géométrie, et je montrais que les principes étaient à refondre. Mais, d'autre part, je découvrais les mêmes défauts dans l'exposé des principes des nouvelles géométries, les mêmes lacunes, les mêmes réticences, les mêmes subreplions, sinon de pins hardies encore. Je concluais en accordant une haute portée philosophique aux spéculations des néo-géomêtres, mais en prédisant que la géométrie euclidienne, tout imparfaite qu'elle fùi, continuerait encore pendant de longs siècles à initier le monde à la science des figures. « Faut-il entendre par là, ajoutaisje, qu'elle est irréprochable el qu'elle est bâtie sur le roc? Non. Les métagéomèires l'ont suffisamment ébranlée pour que l'on revienne de cette croyance •. »

C'est à l'édifier sur wn sol plus profond et plus ferme que sont consacrées les pages qu'on va lire. L'idée n'en est pas récente.

J'étais encore aii collège que déjà je cherchais une démonstration du postulatum d'Euelide. Mon condisciple et ami, M. Folie, aujourd'hui directeur de l'Observatoire d'Lccle, en faisait autant de son côté. C'était, entre nous, une véritable émulatioti. De temps en temps, nous nous communiquions nos espoirs... et nos déconvenues.

Nous entrâmes la même année à l'Université, lui suivant les sciences mathématiques, moi les lettres et la philosophie.

Nous cherchions toujours. Nous nous croyions appelés — la jeunesse est si présomptueuse ! — à débarrasser une bonne fois

' Revue philosophique, aoùl 189i, p. 147.

la géométrie de celte tache «scandaleuse», et ce n'était pas la persévérance — des camarades disaient rentètcment — qui nous faisait défaut. Un jour même M. Folie crut tenir une démonstration loui à fait rigoureuse. Il me la soumit, et elle me parut telle. Il la porta à son professeur, le savant analyste Meyer. Celui-ci lui signala une proposition quelque peu louche, qualifiée comme lemme, à savoir qu'une droite tracée dans un angle rencontre nécessairement au moins un des côtés de l'angle. Rien d'insidieux comme les nécessairement et les évidemment dans le tissu d'un raisonnement géométrique.

A première vue, pour des écoliers comme nous, ce lemme ne ressemblait guère au postulat d'Euclidc. Au fond cependant il lui était identique. Il revenait à dire qu'une droite ne peut pas être parallèle aux deux côtés d'un angle; en d'autres termes, que par un point on ne peut mener deux parallèles à une même droite. C'est ce que nous reconnûmes bientôt.

S'être cru au but et s'en voir aussi éloigné qu'auparavant, c'était là une déception bien faite pour décourager.

Je ne me décourageai point. J'abordai le problème par un autre côté. Je ne sais plus oîi j'avais lu que sa solution dépendrait peut-être d'une meilleure définition de la droite. Je recherchai ce qui pouvait manquer aux définitions vulgaires. Je crus enfin en avoir trouvé une irréprochable : la ligne droite est une ligne homogène, c'est-à-dire dont toutes les portions, quelle qu'en soit la longueur, sont semblables '. Il ne s'agissait plus que de faire voir que cette définition était la seule bonne.

• Colle dp(iiiiti(jn ii'élnil pas iinivo. [.cil)!!!!/, dit llEnEuwEG dans la critique qu'il fait de mes Prnicgomènes de la Gcoinclric {Juiirnut philosophique de FiciiTË, vol. ô7, p. i()l), runduil de grands espoirs sur ces dcHnilioiis de la droite et du plan : liecla rsl linea citjus fars qitaevis est similis loti; plana est superficies in qua pars est similis loti. Leil)iiilz dit qu'il reviendra quelque part sur ce sujet; mais l)el)er\vepr, nialfçré son érudition étonnante, n'avait pu découvrir les développements annoncés.

De (il en aiguille, j'en vins à passer en revue toutes les définitions de la géométrie, et j'en étais encore à préparer mon examen final, que j'avais dans mes tiroirs tout un volume de réflexions sur les principes de cette science.

II ne restait plus qu'à trouver où et comment je publierais mon ouvrage.

Vers ce temps-là, en 1857, on fonda ]es Annales de l'enseignement public, destinées à prendre la place du Moniteur de l'enseignement qui se mourait. J'y eus mes entrées comme collaborateur pour les questions de pédagogie. J'en profilai pour y glisser sournoisement deux courts articles sous le titre ; Les postulats de la Géométrie. Ils furent peu goùlés ou, tout au moins, passèrent inaperçus. Les Annales d'ailleurs ne vécurent que deux ans. Je ne pense pas que Les postulats aient contribué à avancer ou à retarder leur mort.

Malgré mes insuccès, je persistais à penser que l'objet de mes méditations ne manquait ni d'importance ni d'intérêt.

L'année suivante, j'allai à l'Université de Bonn pour y parfaire mes études philosophiques. Mon double titre de docteur en philosophie et en sciences me valut un excellent accueil des savants qui y professaient à celte époque. Le jour de mon arrivée, Kehr, le jeune professeur de physique, que la mort guettait déjà, me retenait à dîner. J'avais pour lui une lettre de recommandation de mon vénéré maître Glœsener, dont le nom, aujourd'hui presque oublié, devrait figurer à chaque page de l'histoire primitive de l'électricité. Beaucoup de sujets de conversation furent mis sur le lapis. L'attention que Behr voulait bien prêter à mes <|uestions, m'enhardit à lui exposer quelques-unes de mes idées sur la géométrie. Il en fut frappé et m'engagea vivement à les soumellre à Ueberweg, alors pauvre prival-doeent, qui avait travaillé dans la même direction.

C'est de ce moment que data mon inlimilé avec Ueberweg» intimité qui ne lut interrompue que par sa mort, arrivée le 9 juin 1871.

Ueberweg avait publié en 1 851 , dans les A rchives pédagogiques (vol. XVII), une Exposition scientifique des principes de la Géométrie, qui, aujourd'hui encore, a gardé toute sa valeur philosophique. Il me la communiqua, et dès lors commença entre nous un commerce de vive voix et par correspondaflce — je possède des monceaux de notes, d'objections et de réponses écrites de sa main — qui ne laissa inéprouvé aucun des moellons formant les assises de celte science.

Nous prenions souvent pour arbitre son ami Lipschilz, privatdocent comme lui, avec qui il m'avait mis en rapport. C'est même Lipschilz qui me signala, dans le Journal de Crelle, les articles de Lobalschewsky dont je donne une courte analyse dans mes Prolégomènes (p. 76).

Mes maîtres de Bonn me rendirent ainsi la confiance en moimême, que j'avais perdue. De retour à Liège, je coordonnai mes notes et j'en fis un livre pour le plan duquel feu Alphonse Le Roy, mon professeur de métaphysique, m'aida de ses conseils. C'est ainsi que je pus faire paraître en 1859 mes Prolégomènes philosop/iiques de la Géométrie et solution des postulats, suivis de la traduction d'une dissertation sur les principes de la Géométrie par Fréd. Ueberweg.

L'exposition de mes vues sur les fondements de la géométrie a donc aujourd'hui trente-sept ans de date.

Certes mes opinions n'ont pas fait leur chemin. Je suis venu trop tôt. Mon nom était inconnu ; des philosophes auxquels s'adressait spécialement mon livre, il en était peu que leurs connaissances géométriques eussent fait admettre dans l'école de Platon; et les mathématiciens d'alors — sont-ils autrement

aujourd'hui? — avaient trop en mépris la philosophie pour daigner me suivre à travers le dédale de mes critiques et de mes hypothèses. En outre, dans l'enthousiasme de la jeunesse et — l'ajouterai-je ? — dans l'enivrement des premières pensées entretenu par l'atmosphère métaphysique que Kant, Hegel, et surtout Herbart, me faisaient respirer à pleins poumons, je m'étais laissé entraîner à exposer sous une forme abstraite et abstruse des idées qu'aujourd'hui je m'efforcerais d'habiller du langage ordinaire. Rien que le titre que j'avais choisi avait quelque chose de rébarbatif.

Toutefois, j'eus l'honneur d'être analysé en Allemagne et en Angleterre, et j'ai vu plus tard avec un assez vif plaisir des géomètres adopter, en me citant, telle de mes définitions ou telle partie de mon plan et de mes théorèmes '.

En France, aujourd'hui, mon ouvrage semble s'exhumer de l'oubli, et des savants comme MM. Calinon, Lechalas, Léon Coulurat, elc. 2, le citent avec éloge et font usage de sa terminologie.

' Je ne rappellerai que la Géométrie de M. J.-F.-V. Gérard [TUe cléments of Genmelry, or first step in applicd Logic, Longmans, Londoii, 1874, dans les Advanced séries de Moeell). I/auteur me cite dans sa préface; il est entré spontanément en correspondance avec moi. Il reconnaît l'influence que la lecture de mon ouvrage a eue sur son esprit. Malheureusement, il ne l'a lu, dit-il, que lorsque les deux premiers livres de sa Géométrie étaient déjà sous presse, et il a dû faire des remaniements sur les épreuves, ce qui apparaît assez visiblement.

■* u Dans cet ouvrage, antérieur à la publication du mémoire de Riemann et aux travaux de Helmholtz et de Beltrami, M. D., n'ayant qu'une connaissance incomplète de la géométrie de Lobatschewsky {op. cil , p. 77), a défini l'espace euclidien, ainsi que la droite cl le plan, par l'idée d'hon;ogénéité, et réduit les postulats fondamentaux de la géométrie à des principes rationnels. Les recherches ultérieures des mathématiciens n'ont fait que confirmer celte théorie ingénieuse cl profonde, qui était, pour l'époque où elle a paru, une véritable divination. » (L. Colturat, licvue de mélapliysiquc et de morale, mai 1895, p. 503.)

Bien qu'à l'âge où je suis arrivé, ma vanité, qui a toujours été peu chatouilleuse, le soit devenue moins que jamais, j'avoue que CCS témoignages, presque posthumes, rendus à ce premier fruit de ma jeune pensée, ne m'ont pas trouvé indifférent. C'est même là ce qui explique en partie comment je prends plaisir à entrer dans ces détails, peul-élre trop personnels, que le lecteur voudra bien me pardonner.

Pourtant une autre raison encore pourrait les justifier. Mes idées sur les fondements de la géométrie ont peu varié. Je sais (|ue pareille invariabilité ne prouve généralement rien. Un poète :i dit, non sans quelque hardiesse :

L'homme absurde est celui qui ne change jamais.

Cet apophtegme est surtout vrai en fait de science. Aussi je n'ai jamais eu lionle de brûler, quand il le fallait, ce que j'avais adoré. Cependant, en géométrie, je ne me suis pas encore vu dans la nécessité de brûler quoi que ce soit. C'est pourquoi je crains, moi qu'on pouvait regarder jadis comme un novateur presque révolutionnaire, de passer aux yeux du public actuel pour un arriéré, voire un rétrograde. La métagéométrie n'eslelle pas en honneur cl ne se flatle-l-clle pas d'avoir jeté la géométrie d'Euclide à bas de son piédestal et d'avoir pris sa place? Dien que ce soit la géométrie euclidienne qui supporte l'édifice de la métagéométrie, il a été démontré, à superfluité de preuves, combien les fondements de son œuvre sont défectueux, el combien il serait nécessaire de les consolider en y remplaçant les mauvaises pierres par des pierres de meilleure qualité. Ils appellent donc une reconstruciion. Or, cette reconstruction telle que j-; l'ai conçue, si elle est désirable au point de vue scienlifiquc, n'a pas chance d'être accueillie comme avantageuse au point de vue [)r;ai(|ue. Elle est trop radicale. Euclide est pour

nous une autorité comme l'a été Aristote jusqu'à Deseartes. C'est un dogme que la géométrie élémentaire d'EucIide est la perfection même; qu'EucIide a donné le vrai plan, la vraie méthode, les vrais principes; que c'est tout au plus si on peut l'améliorer en quelques points secondaires; c'est Euclide qui sert à renseignement depuis des siècles; et chacun va répétant, comme s'il axait médité Euclide et médité la géométrie, quEuclide est la géométrie et qu'il n'y a pas d'autre géométrie élémentaire possible que celle d'Euclide.

Malgré le caractère imposant de ce concert, je me risque à poursuivre aujourd'hui l'entreprise dont je n'ai fait qu'esquisser le plan dans mon premier ouvrage, c'est-à-dire à mettre en forme tous les principes, définitions, axiomes et postulats, et tous les théorèmes de la géométrie plane jusques et y compris la mesure des angles, à l'exclusion de ceux concernant le cercle et la mesure des surfaces.

Cette tentative, d'un bout à l'autre absolument originale, je me permets de la mettre sous le patronage d'Ueberweg, qui l'eût certainement suivie avec intérêt. Voici ce qu'il écrivait en 1851, et je m'approprie ses paroles ' ;

« Si nous envisageons notre sujet au point de vue purement mathématique, il se présente tout d'abord une question intéressante, celle de ramener à un nombre déterminé et le plus petit possible les propositions fondamentales de la géotnétrie et d'en déduire tous les théorèmes avec rigueur.

» La géométrie d'Euclide, on le sait, n'a résolu qu'incomplètement ce problème. Outre les iléfinitions des figures premières, lignes, surfaces, etc., elle pose, sous le nom d^axiomes et de

' Voir dans mes Prolégomènes la traduction de la dissortalion d'Ucberwoj;, pp. 209 et suiv.

postulats, une suite de propositions non démontrées, sans s'expli- (|uer, et avec raison, sur leur validité; car c'est la mission de la philosophie et en particulier de la théorie de la connaissance. .Mais même sous le rapport niaihématique, on peut lui reprocher :

» 1° L'énuniération incomplète en fait, quoique complète en apparence, des axiomes, l'existence du plan, la comparabilité de toutes les lignes d'après leurs rapports de grandeur, l'égalilé qu'on établit entre la somme de plusieurs angles et l'angle formé par les deux côtés extrêmes, d'où suit la mesure des angles; toutes ces propositions ne sont mentionnées ni parmi les axiomes, ni parmi les théorèmes; et Euclide lui-même, sans aucun doute, n'avait pas songé à en faire l'objet de son attention, les croyant implicitement comprises dans ses axiomes et postulats.

» 2° Le défaut de principe pour l'ordre des axiomes. A la vérité, il est impossible de déduire les axiomes, car ils perdraient alors ce caractère ; mais on peut les établir d'un point de vue général, de manière à en montrer l'ensemble. De là le troisième inconvénient :

• 5° Le nombre indéterminé de ces axiomes. Rien ne nous assure ainsi que les développements postérieurs de la géométrie ne nécessiteront pas une augmentation de ce nombre, comme, d'un autre côté, il n'est pas prouvé qu'on ne puisse lui faire subir une diminuiion en démontrant (|uelqucs uns d'entre eux.

- Malgré des efforts réitérés, ces lacunes n'ont pas encore été comblées, et la solution de la difficulté, même dans le cas où cette solution ne serait pas élémentaire, n'en aurait pas mctins un grand intérêt scientifique. Nous ne voulons pas dire(|ue plus tard on ne trouvera pas le moyen de faire entrer dans renseignement élomcnlaire les résultats de la science, mais il s'agit avant tout d'un problème scienlilique et non didactique. »

Je dis plus haut (|ue ma tentative est d'un bout à l'autre ori-

ginale. 11 ne serait certainement pas facile de trouver dans ce qui va suivre dix lignes de suite qui se liraient dans d'autres ouvrages. (le n'est pas que j'aie visé à l'originalité — c'eût été puéril — ; mais dans une science constituée comme les Grecs nous l'ont transmise, et procédant méihodiqucment par définitions, propositions, démonstrations, du moment que le point de départ était modifié, des modifications correspondantes s'imposaient dans la suite. On comprend, sans plus amples développements, que les théorèmes sur la droite ne serofit pas les mêmes si on la définit le plus court chemin ou la ligne homogène.

Ma tentative est encore originale sous un autre rapport. Dans les géométries traditionnelles, les théorèmes s'enchaînent parce qu'ils s'appuient les suivants sur les précédents, mais l'ordre manque en ce sens qu'il est réglé non par leur objet, mais par les nécessités de la démonstration. Ainsi, par exemple, les théorèmes sur l'égalité des triangles sont très éparpillés *. Or, dans ma manière de concevoir les choses, les figures doivent s'étudier en allant des simples aux composées, et la démonstration de leurs propriétés ne doit faire usage que des termes compris dans leurs définitions et dans l'énoncé du théorème. Je m'expliquerai dans la suite plus longuement sur ce point.

Enfin, — et c'est ce qui apparaîtra dès les toutes premières lignes, — je définis tous les termes dont je me sers du moment qu'ils sont pris dans un sens rigoureusement géométrique. C'est ainsi qu'à l'occasion de la définition de la géométrie, je donne celles de l'espace, de l'étendue, du lieu, de la limite, de la dimension, etc., tandis que la plupart des auteurs s'en dispensent.

' Dans ma pensée, ces sortes tl'oljservalioiis s'appliquent pres(iue toujours à Euclide et à Legendre, les seuls auteurs que je possède bien. J'ai vu que certains manuels récents, tel celui de Uouclié-Coniberousse, réunissent ces théorèmes.

Voilà ce que j'ai essayé d'atteindre sans y être toujours parvenu. Cependant, j'oserais me flatter d'avoir réussi dans ce qui me tenait le plus à cœur. Je mettais en effet une espèce d'amourpropre à édifier toute la théorie de la similitude des triangles et des polygones indépendamment de la théorie des parallèles. Je ne pouvais mieux montrer cette indépendance qu'en exposant celle-ci après celle-là. Tel est le principal motif de ce renversement de l'ordre traditionnel. Il y a bien aussi un motif secondaire, un motif d'ordre, puisque la ligure formée par deux parallèles et une sécante est un cas limite du triangle; mais le premier motif est pour ainsi dire la raison d'être de ce long travail.

Un mot encore. J'ai multiplié les théorèmes et les corollaires, et j'ai donné bien des démonstrations qu'on pourrait taxer d'oiseuses. C'est que j'ai tenu à n'esquiver aucune difficulté, aucune question, aucune objection, aucun doute, si léger fût-il. S'il s'agissait de faire de cette géométrie un livre d'enseignement, il y aurait à retrancher les trois quarts des pages qu'on va lire. Mais elle est avant tout une œuvre de philosophie destinée à faire la conviction dans les esprits. Je n'ai sciemment rien laissé dans l'ombre, et j'ai formulé une série considérable de propositions auxquelles les géomètres doivent avoir rarement pensé. Je voudrais obtenir de ceux qui me feront l'honneur de me suivre, qu'ils ne s'en impatientent pas, mais qu'ils m'en sachent plutôt gré. J'ai mieux ainjé passer pour lourd et prolixe que pour illusioimisle.

Après cet avant-propos dont le but principal est de faire saisir l'esprit de mon œuvre, j'entre en matière.

LA