SANS LE POSTIILATUM D'EUCLIDE

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CHAPITHE J. — Les définitions générales.

1. — La géométrie a pour objet les figures, c'esl-à-dire les déterminations ou les limitations de l'étendue, et pour but, leur description *.

Z, — L' étendue es,i l'ensemble indéfini des lieux (\m peuvent être occupés par les corps ou être le siège de leurs mouvements.

3. — Le lieu est ce qui reste d'un corps quand on fait abstraction de la matière qui le constitue, ou ce qui subsiste d'un mouvement quand on conserve la trace du mobile ^

' Voir Prolégomènes, etc., pp. J72 et suiv.

* Won point de départ diffère ainsi de celui d'Ueberwcg et mes toutes premières définitions sont autres que les siennes. « Notre point de départ, dit-il, est donc l'intuition sensible où espace et matière sont encore confondus; Tabstraction nous donnera l'espace à part; le mouvement conduit naturellement à cette abstraction. Un corps matériel passe d'un lieu à un autre; qucbjue chose change : ce (jui change, nous le nommons lieu, et notre conscience gagne ainsi l'idée du lieu comme de quelque chose d'étendu en opposition avec la matière qui peut occuper uu abandonner le lieu. » (/Volégomènes, pp. !275 et suiv.^

4. — L'étendue, en tant que non déterminée ou Uinilée, uorie en géomélrie le nom à'espace. On dit d'une figure qu'elle est tracée ou située dans l'espace, et qu'elle occupe une certaine étendue.

l/espace est ainsi le réceptacle des figures, et l'étendue est ce qui, dans les figures, tient lieu de matière.

C'est pourquoi l'on peut dire et l'on dit des figures que ce sont des corp^ géométriques, et de l'espace, en tatit qu'il est considéré uniquement comme le réceptacle de ces corps, q:je c'est l'espace géométrique proprement dit, pour le distinguer, par exemple, des espaces physiques, des espaces interplat)étaires, des espaces célestes, etc., et même des espaces idéaux.

Cependant il est lui-même une sorte d'espace idéal — ainsi que nous le verrons plus loin — et, à ce titre, distinct de l'espace réel.

Les figures (ou corps géométriques) s'obtiennent par la détermination ou limitation de l'étendue.

5. — Déterminer ou limiter l'étendue, c'est en prendre par la pensée une certaine portion en supprimant, toujours par la pensée, ce qui est en dehors de cette portion ; en d'autres termes, c'est supposer que l'étendue existe ou est posée d'un côté de la limite, qu'elle n'existe pas ou est îiiée de l'autre côté.

6. — Il suit de là qu'une figure, une sphère par exemple, peut être envisagée sous deux aspects opposés, raspect plein et l'aspect vide, suivant qu'on la suppose /)/eme d'étendue au milieu du vide, ou vide d'étendue au milieu du plein.

î. — L'étendue posée et l'étendue niée constituant toute l'étendue, la limite qui les sépare n'est pas de l'étendue. On la nomme surface; et elle a deux aspects, un aspect plein et nii aspect vide, suivant qu'on la considère en se plaçant dans l'étendue niée, c'est-à-dire en tant qu'elle limiterait le plein ; ou en se plaçant dans l'étendue posée, c'est-à-dire en tant (|u'elle limiterait le vide.

g. — La figure limitée par une surface s'a()pelle /ir/urc solide, ou simplement solide (plus spécialement corpi geomvtriqne).

». — La surface apparaît à l'esprit comme une nouvelle espèce irélenduc el, à ce litre, elle est susceptible de recevoir «les déierminaiions. Les déterminations d'ime surface sont dites figures superficielles et elles ont une étendue superficielle. La surface qui les reçoit en est le réceptacle.

lO. — La figure superficielle a aussi son aspect plein et son 4ispecl vide, suivant qu'on la considère comme formée de surface posée ou de surface niée.

tl. — La surfiicc posée et la surface niée consiiiuant toute la surface, la limite qui les sépare n'est pas une surface. On la nomme ligne; et elle a deux aspects, un aspect plein et un aspect vide, suivant qu'on la considère du côté de la surface niée, c'est-à-dire en lani qu'elle limiterait la surface posée; ou du côté de la surface posée, c'cst-à-dire en tant qu'elle limiterait la surface niée.

tZ, — La ligne apparaît à l'esprit comme une troisième espèce d'étendue et, à ce tiire, elle est susceptible de recevoir des <léterminaiions. Les déterminations d'une ligne sont dites figures linéaires el elles ont une étendue linéaire. La ligne qui les reçoit en est le réceptacle,

13. — La figure linéaire a aussi son aspect plein et son aspect vide, suivant qu'on la considère comme formée de ligne posée ou de ligne niée.

14. — La ligne posée et la ligne niée constituant toute la ligne, la limite qui les sépare n'est pas une ligne. On la nomme point • ei elle a aussi ses deux aspects, l'aspect plein et l'aspect vide, suivant qu'on la considère du côté de la ligne niée, c'està-dire en tant qu'elle limiterait la ligne posée; ou du côté de la ligne posée, c'est-à-dire en tant quille limiterait la ligne niée '.

• Voir Proli'gomèncs, pp. lîii cl siiiv.

1&. — Le poinl n'esl susceptible d'aucune détermination aulrc que lui-même, c'est-à-dire autre que son lieu ou sa place. Le point n'n pas d'étendue '.

16. — Bien que le point n'ait pas d'étendue, s'il se njeut en sortant de lui-même, il décrit une ligne. Cela veut dire que, si Ton conserve la trace des lieux qu'il occupe successivement, la suite de ces lieux constitue une ligne.

On dit de la ligne qu'elle a une dimension.

t7. — Bien que la ligne ne soil pas une surlace, si elle se meut en sortant d'elle-même, elle décrit une surface. Cela veut dire que, si l'on conserve la trace des lieux qu'elle occupe successivement, la suite de ces lieux constitue une surlace.

Pendant ce transport, la ligne est censée pouvoir se déformer, se contourner, s'étendre jusqu'à l'infini ou se rétrécir jusqu'à I évanouissement.

On appelle seconde diinensiun la trajectoire suivie par un point quelconque mais unique de la génératrice, c'est-à-dire de la ligne mobile, depuis sa première jusqu'à sa dernière place.

On dit de la surface qu'elle a deux dimensions.

18. — Kniin, l)ion que la surface ne soit pas un solide, si elle se meut en sortant (rcIlc-môme, elle décrit un solide. Cela veut dire que, si l'on conserve la trace des lieux qu'elle occtipe successivement, la suite de ces lieux constitue un solide.

Pendant ce transport, la surface est censée pouvoir se déformer, se contourner, s'étendre jusqu'à l'infini, on bien se rétrécir juscpià devenir en totalité, ou par endroits, une ligne ou un point, ou même s'évanouir pour réapparaître ensuite.

On appelle troisième dimension la trajectoire suivie par un point quel('on(|ue mais uni(|ue de la surface génératrice depuis sa première jusqu'à sa dernière place.

On dit du solide (|M'il a trois dimensions.

' tucliilc" dit : Ln jjoint n'a pa»; de partie.

flO. — Le mouvement appliqué au solide ne nous parait engendrer rien d'autre qu'un solide. Car, à chaque instant du mouvement, c'est la surface du solide, et non le solide lui-même, qui sort totalement ou partiellement du lieu qu'elle occupe et qui engendre ainsi un solide (18).

Il est à noter que, pour que ces mouvements soient possibles cl concevables, il faut que l'espace, la surface, la ligne préexislenl, à titre de données, au mouvement de la surface, de la ligne, du point.

SO. — Nous avons ainsi, avec le point et à l'aide de trois mouvements successifs, obtenu d'abord une ligne, puis une surface, puis un solide (autrement dit un corps géométrique). C'est pourquoi l'on dit que le solide ou le corps, que l'étendue, qui est le lieu des corps en tant que déterminés, et que l'espace, qui est le réceptacle des corps en tant que possibles, ont trois dimensions; que la surface a deux dimensions; que la ligne n'a qu'une dimension ' ; et que le point n'a pas de dimension.

9t. — Il suit de là que la dimension est une ligne; que la dimension d'une ligne est cette ligne même, que les deux autres dimensions sont des lignes fictives arbitraires; et qu'ainsi, en général, les dimensions sont des lignes qui sont censées élre la trace du mouvement nécessaire pour d'un point tirer une ligne, pour d'une ligne tirer une surface, pour d'une surface tirer un solide '-'.