CHAPITRE INTERCALAIRE

Théorie de la symétrie des figures planes. — sur Cinlerseclion des plans.

Théorèmes

A la rigueur, la théorie de la symétrie des figures planes obtenues par rabattement, a sa place au début de la géométrie du plan dans l'espace, de même que celle de la symétrie des figures rcciilinéaires a sa place au début de la géométrie de la droite dans le plan.

D'ailleurs, la théorie du rabattement n'est pas nécessaire pour établir l'ideniité des figures planes symétriques. C'est ce que nous avons vu par le théorème 115, pour la démonstration duquel il sullit de dé[)lacer le spectateur, sans rabattre le plan.

Riais je l'insère ici, ne me proposant pas d'aborder la géométrie à trois dimensions. Toutefois, on voudra bien remanjucr qu'elle ne s'appuiera que sur des propositions acquises.

Théorème I. — Les deux faces d'un même plan sont symétriques, en ce sens que toute figure tracée sur l'une apparaît sur l'autre avec sa forme syuiéiriciue.

Déni. — Même démonstralioii qu'au théorème il 3. Celle tlémonslraiion s'appuie au fond sur la déUnilion de la symétrie (41).

Cor. 1. — Deux figures planes symétriques tracées sur la même face du plan, deviendraient identiques si l'on rabattait autour d'une droite, comme autour d'une charnière, la partie du plan sur laquelle l'une d'elles est tracée, de manière à mettre en avant la face qui est en arrière.

Cor. 2. — Il suit de là, comme déjà du théorème 113, que les propositions concernant les conditions de l'idcnlilé des figures planes, sont valables pour les figures symétriques, et se rapportent par conséquent d'une manière générale aux conditions de leur égalité (41).

Théorème II. — L'espace étant donné ', on peut, par une même droite mener une infinité de plans.

Dém. — Par cette droite et un point pris en dehors de cette droite, faisons passer un premier plan (86, cor. 1). Prenons ensuite dans l'espace un point qui ne soit pas contenu dans le plan. La droite et ce point détermineront un second plan. De même, en prenant un troisième point qui ne soit conteim dans aucun de ces deux plans, on pourra en faire passer nn troisième par lui et la droite; et ainsi de suite.

Rem. — il y a toujours de ces points qui ne sont dans aucun des plans cnnsiruits, puisque des plans, qui sont des surfaces et par conséquent des néanis d'espace (définitions préliminaires), ne peuvent combler l'espace.

Théorème \\\. — Deux plans qui ont deux points communs onl en commun la droite entière qui joint ces deux points.

Dém. — Si nous traçons la droite, elle sera tout entière à la fois dans l'un et l'autre plan comme y ayant deux de ses points (79).

Cor. 1. — Toute droite tracée sur un plan peut être considérée comme étant une droite commimc à deux plans identifiés.

1 Celte addition csl de toute rigueur, puisque nous faisons ici une excursion dans la géunictrie à trois dimensions.

Y Fig. 18.

Cor. 2. — Si Ton fait tourner l'un de ces deux plans identifiés autour de la droite supposée commune, soit (fig. 18) le plan Q

autour de la ligne XY, ^ la surface qui se montre

à nous finira par recouvrir la surface P et nous verrons alors la face in- . férieure du plan Q.

Dêf. — Le demi-tour que l'on imprime à im plan autour d'une de ses droites, prise comme charnière, s'appelle mbatlemoit.

Théorème IV. — Si dans le plan à rabattre on prend sur une perpendiculaire quelconque à la charnière un point situé à une disiance arbitraire de son pied, ce point occupera, après le rabaliemeni, une place à égale distance sur le prolongement de la perpendiculaire.

Déni. — Soit M (fig. 18) un point du plan Q pris arbitrairement sur une perpendiculaire quelconque OZ à la charnière. Le rabattement fera tomber OM sur le prolongement de la perpendiculaire O.M', puisque les deux angles \OiVI et XOM' sont égaux en leur qualité d'angles droits, et la distance OM' sera égale à la dislance OM. Il en sera de même pour des points tels que L et N, qui viendront en L' et N'; ei l'on voit que la ligure recliliiicaire LMN a pour symétrique la ligure rcclihnéaire L'iVI'N'; ce qui pourrait s'établir direetenietit en faisant faire dans le plan un demi-tour à la droite OZ autour du point 0 (85). Scolie. — De là la définition ordinaire de la symétrie : •< Deux points sont symétriques par rapport à une droite lorsque cette droite est perpendiculaire au milieu de la droite qui joint ces deux points.

" Deux figures sont symétriques par rapport à une droite lorsque elia(jue f)()int de l'une d'elles a son symétrique sur l'autre figure. ■

Seulement celte délinition a le tort de confondre la position symétrique avec la symétrie.

Cor. — Tout point d'une ligure plane tracée sur un plan pouvant être envisagé comme situé sur une perpendiculaire à la charnière, le rabattement du plan autour de celle charnière transforme cette figure en sa symétrique.

Ainsi est démontrée l'identité par rabattement des figures planes symétriques.

Puisque j'ai fait une incursion dans la troisième dimension, on me permettra de m'y attarder encore un peu. Le sujet que je vais traiter est un hors-d'œuvre, mais je serai bref.

Dans les observations préliminaires dotit j'ai fait précéder la géométrie de la droite (p. 36), j'ai signalé une lacune tout au commencement du cinquième livre de Legendre. Entre les deux premiers théorèmes sur le plan (une droite ne peut être en partie dans le plan, en partie dehors; trois points déterminent im plan), et le troisième (quand deux plans se coupent, c'est suivant une ligne droite), devrait venir une proposition établissant que deux plans ne peuvent pas n'avoir qu'un point de commun, en d'autres termes qu'ils ne peuvent pas être tangents extérieurement ou intérieurement à la façon de deux calottes sphériqucs, on se toucher, soit encore extérieurement ou intérieurement, à la façon de deux surfaces coniques.

Cette lacune, je ne pense pas qu'elle ait été comblée quelque part. Elle ne l'a pas été à coup sûr, quoi qu'en ail dit ÎM. Mansion dans Malhesis ', par Rolché-Comberousse ; c'est ce que j'ai fait voir dans une note d'une réponse à M. Leehalas 2. Le lecteur ne trouvera pas mauvais que je montre ici comment elle peut l'être.

' Voir n" de juin 189ïJ, p. 237.

* Voir Revue philosophique, janvier 1894, p. 79. Voici cette noie ; a La solution RouciiÉ-CoMUEKoussE suppose (ju'une droite qui ronconlrc un plan, y est contenue tout entière ou le transperce. Or, si deux pians pouvaient ne se toucher qu'en un point à la façon de deux surfaces splicriques ou de deux cônes ayant même sommet, il est clair que toute droite passant par ce point et située dans l'un d'eux ne transpercerait pas l'autre. •>

Il voudra bien remarquer que j'aborde ce qu'on est convenu d'appeler, depuis Lcgendre, le cinquième livre de la géométrie, armé des seuls théorèmes démontrés jusqu'ici, c'ost-à-dire sans l'aide des parallèles cl des triangles, ni des angles dièdres.

Si je me sers de quelque terme non défini, il n'y a pas à s'en formaliser, du moment que le terme est employé dans son sens usuel.

Lenime. — Le plan divise l'espace dans toute son étendue (cf. prop. 79).

Théorème I. — Lorsque deux plans ont une droite commune, ils se coupent, c'est-à-dire que chacun d'eux est situé des deux côtés de l'autre (cf. 104).

Dém. — Soient (lig. 19) deux plans P elQ, ayant en commun la droite XX . Je dis que ces deux plans ne peuvent pas avoir la position indiquée dans la figure, c'est-à-dire telle qu'ils seraient tangents le long de la droite XX', mais qu'ils se coupent comme la même figure peut aussi l'indiquer, pourvu qu'on se représente les surfaces MiM' et NN' comme des plans s'entrecoupant le long de la droite XX'.

Dém. — Par un point quelconque X de la droite XX', je mène deux droites, l'une XY dans le plan P, l'autre XZ dans le plan Q. Les deux droites, ayant un point commun, sont dans le même plan, donc elles se coupent (104); elles prennent donc les positions YZ' et ZY', et non pas les positions YY' et ZZ', et, par consé(|uent, chacune d'elles passe à l'autre côté du plan qu'elle rencontre.

Comme ce qui vient d'être dit des droites XY et XZ peut se dire de toutes autres droites, telles que X'M et X'N, on peut trouver dans le plan P autant de points que l'on veut situés à l'autre côté du plan Q, et réciproquement. Donc* ces deux plans se coupent. C. Q. F. D. Théorème 11. — Lorsqu'une droite rencontre un plan dans lequel elle n'est pas située, elle le perce.

Uém. — Soit O (fig. 20) le point où la droite X rencontre h;

Fig. 19.

plan P. Par ce poinc, dans le plan P, traçons une ilroite quelconque Y el faisons passer un plan Q par celle-ci el la droite X. Ce plan Q coupira le plan considéré P, puisqu'il aura avec lui

la droite commune OY (lliéorènie I). Quant à la droiie X, tout en restant dans le plan Q, elle coupera la droite OY(104) et passera de celte façon à l'autre côié du plan P.

Théorènie Hl. — Lorsque deux plans ont un point commun, ils en ont un second et par conséquent se coupent suivant une droite.

Dém. — Soit 0 (même figure) le point commun aux plans P et Q. Par ce point 0 et dans le plan Q faisons passer deux droites OZ et OX qui perceront le plan P (théorème II), Prenons sur la droite OX un point M situé d'un côté du plan P, et sur la droite OZ un point N situé à l'autre côté du même plan P. Joignons ces deux points par une droite; celle-ci coupera le plan P en un point 0' (cf 82), second point de rinler.-ection, laquelle intersection sera la droite Y passant par 0 et 0'.

Fi". 20.