OA OB

WI' ^^ cm "^ "* ' ^" même temps que O'A' est disposé par rapport à O'B' comme OA l'est par rapport à OB. En majorant convenablement l'une des deux figures, soii A'O'B' du point 0' comme centre (111) dans le rapport m, O'A' et O'B' deviendront égaux à OA et OB (110). Le coin A'O'B' sera alors égal au coin AOB. Il n'en différait donc qu'en grandeur, et partant lui était semblable (4-2). Scolie. — Les côtés OA et O'A' ainsi que OB et O'B' devenant similaires (41) à la suite de la majoration, sont des côtes homologues (42).

Cor. — Des lignes polygonales ainsi que des figures étoilées ou lacunaires sont semblables quand elles se composent de coins semblables ou d'angles égaux disposés similairement '.

118. Déf. — On nomme parallèles des droites (semi-droites ou portions de droites) ayant même direction.

' A première vue, cette proposition si générale, tellement générale qu'elle n'est énoncée dans ces termes dans aucune géométrie, celte proposition, <lis-je, épuise entièrement la théorie de la similitude des figures planes rcctiligncs, puisque les cas de similitude des triangles n'en sont que des applications p;irliculièrcs, et qu'ainsi la théorie dus parallèles n'en sera qu'un corollaire. Il nous conviendra, vu le but que nous avons en vue, de ne pas en faire étal. Mais d'autre part, on voudra bien remarquer que ec tliéorème a été établi indépendamment des propositions sur les parallèles et du postulatum dTuclidc.

Scotie. — Celte clénnitioii est la dérivée {i7) de la proposilion94 donnant la définition de l'angle. (Voir plus loin le chapitre sur le postulalum d'Euclide.)

Cor. 1. — Deux parallèles ne peuvent se rencontrer, si loin qu'on les prolonge, car si elles se rencontraient, elles feraient un angle (91). Elles ne sont donc pas obliques l'une par rapport à l'autre (102).

Cor. 2. — Par un point donné il ne peut passer qu'une parallèle à une droite donnée. «

Cor. 3. — Deux droites parallèles à une même troisième sont parallèles entre elles (4ci).

119. Déf. — On nomme sécante toute droite qui passe par deux points appartenant à deux parallèles. La droite PQ (fig. 16) est une sécante.

Une sécante fait avec ces deux parallèles huit angles, que

l'on range par couples portant différents noms.

y/ Ce sont d'abord les angles

(2 ^ H' , y ■ u correspondants situés d'un

..-->t; même côté de la sécante et

A ,7 y'N l^ B s'ouvrant dans le même sens.

/ Tels sont les couples 1 et 5,

2 et 6, 5 et 7, 4 et 8, situés

alternativement à gauche et

à droite de la sécante, et

s'ouvrant les quatre prenn'ers vers le haut, les quatre autres vers

le bas.

Scotie. — Ces angles, pris diux par deux, ont leurs côtés dirigés respectivement dans le même sens.

Viennent ensuite les angles alternes-internes et alternesexternes, situés de côté et d'auire de la sécante, niais rcnfermnnt ou ne renfermant pas l'espace compris entre les parallèles. Tels sont respectivement les couples 3 et 0, 4 et 5, et les couples 1 et 8, 2 et 7.

Scolie 1. — Ces angles, pris deux par deux, ont leurs côtés dirigés respectivement en sens contraires.

Fi". 16.

Enfin, on distingue encore les internes ou les externes d'un même côlé de la sécante. Tels sont respectivement les couples 5 ei 5, 4 et 6, ei les couples 1 et 7, 2 et 8.

Scolie 2. — Ces couples ont deux côtés dirigés dans le même sens, ce sont ceux formés par les parallèles, et deux côtés dirigés en sens contraires, ce sont ceux formés par la sécante.

Cor. \. — Les angles correspondants sont égaux; il en est de même des angles alternes-inlernes et des angles alternesexternes; les angles alternes ou externes d'un même côlé sont supplémentaires.

Cor. 2. — Pour mener par un point M (fig. 16) une parallèle à une droite donnée AB, on joint par une sécante MN ce point M à un point quelconque iN de la droite AB, puis l'on mène la droite CD de manière que l'angle NMC soit égal à l'angle MiNB.

120. Tliéor. — Deux droites qui font avec une même sécante deux angles correspondants égaux sont parallèles.

Il en est de même si elles font deux angles alternes-internes ou alternes-externes égaux.

Il en est encore de même si elles font deux angles internes ou externes d'un même côlé de la sécante dont la somme e>i égale à deux droits.

Démonstration par l'absurde '.

ISI. Théor. — Lorsque deux angles ont leurs côtés parallèles chacun à chacun et dirigés tous deux chez l'un et chez l'autre dans le même sens ou en sens opposés, ils sont égaux. Dans le cas contraire, ils sont supplémentaires.

' Il suffit de donner un exemple de ce genre de dcnionstraliun parfaitement Icgilime, mais dont il faut user avec discrétion. Si (fig. l(i) les deux droites AB et CD qui font avec la sécante PO les angles correspondaiils I et 5 supposés égaux, n"élaiei;l pas parallèles, on pourrait mener par le point M une parallèle à AB (I II), cor. 2); or, cette parallèle ferait avec la sécante PQ un angle égal à l'angle 5, comme correspondant; il serait donc égal aussi à l'angle 1, et par conséquent cette parallèle se confondrait avec MC.

Dém. — Soient ((ig. 17) les deux angles BAC et B'A'C dont

les côtés AB el A'B' ainsi que AC et A'C ont même direction;

ces angles ont donc même P. ,

valeur et par conséquent

sont égaux.

L'angle B"A'C" a ses côtés

dirigés en sens opposés, mais,

comme il est égal à Tangle

B'A'C, il est aussi égal à

l'angle BAC.

Enfin, langle B'A'C" (ou

l'angle B"A'C') a un seul de

ses côtés, à savoir A'C" (ou

A'B") dirigé en sens opposé de AC (ou de AB), et comme il est

le supplémentaire de l'angle B'A'C', il le sera de l'angle BAC.

Fig. d7.