Dcf. — Le triangle esl un polygone formé de trois por

Fig. 21.

Fis. t.>8.

Fig. 'ii.

lions de droite reliant deux à deux trois points non en ligne droite. La ligure ABC est un triangle (lig. 25).

Dans un triangle, par conséquent, outre les trois côtés, on distingue trois sommets, trois angles, trois coins.

Rem. i. — Par abus, les côtés du triangle, (pioique (inis, sont dits être les côtés des angles.

las»»»». Déf. — Si ses trois côtés sont inégaux, le triangle esl dit scalène.

Si deux de ses côtés sont égaux, le triangle est dit isocèle, et l'on y désigne spécialement sous le nom de sommet le point de rencontre des côtés égaux, et sous le nom de base le côté opposé à ce sommet.

Si ses trois côtés sont égaux, le triangle est dit équilaléral.

Scolie. — Qu'il puisse y avoir des triangles isocèles, et partant des triangles équilatéraux, c'est ce qui résulte de la propriété du plan de recevoir des figures symétriques (85, 106, scolie el ibéorie de la symétrie).

Rem. "2. — Lorsque toute confusion esl impossible, on désigne souvent Us angles du triangle par la lettre de leur sommet, qu'on cboisil majuscule, et le côté opposé par la même lettre minuscule. Ainsi l'angle CAB sera désigné A, et le côté opposé BC sera désigné a.

Les angles du triangle sont toujours censés être les angles intérieuis, c'est-à-dire dirigés vers le côté opposé.

Scolie. — Le iriangle est l'une des figures les plus importiiiues de la géométrie, parce que toute figure rectiligne peut se tléeomposer en triangles et se définir au moyen de ces triangles. (Cf. 112, scolie 2.)

Fig. 24.

Fig. 25.

Ab

194. Déf. — Le biangle est une ligne brisée ouverte formée d'une portion de droite, portant à ses deux extrémités soit deux semi-droites {biangle unilatère), soit une semi-droite et une portion de droite (biangle bilatère), soit deux portions de droite {biangle Irilatère).

Dans un biangle unilatère (fig. 24, 25, 26), on distingue deux sommets A et B, puis deux angles ayant en commun un côté Uni Alt (125, rem. 1), enlin diux côtes indéfinis AX et BV.

Dans la figure 24, les semi-droites AX et BY sont divergentes ; dans la figure 25, convergentes; dans la figure 26, parallèles.

Scolie 1. — La figure formée par deux parallèles et une sécante (119, fig. 16) peut être considérée comme un biangle où, par dérogation à la définition, les côtés seraient des droites indéfinies dans les deux sens.

5co//e 2. — Le triangle est un biangle unilatère convergent (fig. 25) dont on nie les prolongements dessemi-droites AX, BY au delà du point de convergence.

Dans un biangle bilatère (fig. 27), on distingue trois sommets .A, B, C, deux angles (125, rem. 1), un coin ABC, deux côtés finis AB et BC, un côté indéfini AX.

Dans un biangle trilatére (fig. 28 et 29), on distingue quatre sommets A, B, C, D, deux angles, deux coins, les trois côtés finis. Scolie 5. — Le iriangle est un biangle tnlatère où les deux extrémités libres (I 12) se confondent.

Fis. 26.

Fig. 27.

Fig. 28.

Fis. 29.

195. Théor. — Un triangle est délcrminé quand on donne ses irois sommets.

Déin. — Il n'y a qu'une seule manière possible de relier ees trois sommets par trois portions de droite.

Cor. 1. — Un triangle est déterminé quand on donne un tie ses coins, puisque par là on donne ses trois sommets.

las**". Cor. 2. — Deux triangles sont égaux quand ils ont un eoin égal; en d'autres termes, quand ils ont un angle égal compris entre côtés égaux chacun à chacun.

Alors, les deux auires coins sont aussi égaux; en d'autres termes, sont alors égaux le troisième côté et les deux autres angles chacun à chacun.

Rem. — L'égaillé est par identité ou par symétrie, suivant que les éléments donnés comme égaux le sont par identité oti par symétrie. Cette remarque sera désormais presque toujours sous-entendue (1 14).

186. Théor. — Un triangle isocèle est à lui-même son symétri(|ue.

Déni. — Soient C (fig. 30) le sommet du triangle et 6 = a les deux côtés égaux, le coin BCA est égal au coin ACB(H2, cor. 2; 12o'"0.

Cor. 1. — Dans un triangle isocèle, aux côtés éga\ix sont opposés des angles égaux; c'est-à-dire ^B que l'angle 13 = l'angle A.

Pj gp Cor. 2. — Un triangle équilatéral a ses trois

angles égaux.

Observation. — 11 doit avoir paru depuis une vingtaine d'années bon nombre de géomélries élémentaires. Je n'en ai lu aucune. On voudra bien me pardonner ce défaut d'érudition. Ces années, je les ai employées à des travaux assez considérables dans d'autres domaines de la philosophie et des sciences. Dans aucun des livres scolaires que jusqu'alors j'avais eu l'occasion de lire ou de leuilleter, je n'avais trouvé la propriété du triangle isocèle présentée de cette façon et à cette place. Je

croyais bonnement que celte innovation m'appartiendrait, si un jour — ce que j'étais loin de prévoir — je me remettais à la géométrie. Aussi ai-je été quelque peu contrarié de la trouver dans RoucHÉ-CoMBEROLSSE, ce qui me fait supposer qu'elle pourrait être aussi dans d'autres auteurs. J'ose dire cependant que dans RoicHÉ le théorème n'est pas démontré avec la rigueur désirable. Le rencersemenl de la figure à travers l'espace, obtenu à l'aide d'un mouvement absolument indéterminé — j'entenils sans l'indication d'un axe fixe pris dans le plan — me paraît un [Mocédé sujet à caution. Quant à moi, je n'ai pas même eu besoin du rabattement. (Voir plus loin 150, observation.)

18 7. Théor. — Un biangle unilalère est déterminé quand on donne le côté fini et les deux angles.

Dém. — On ne peut disposer que d'une manière identique ou symétrique les deux côtés indéfinis.

Cor. 1. — Deux biangles unilatères sont égaux s'ils ont le côté fini égal et adjacent à deux angles égaux chacun à chacun.

Scolie. — Les deux côtés indéfinis peuvent être parallèles, diverger ou se couper (124). Dans ce dernier cas, le biangle comprend un triangle (124, scolie 2).

188. Cor. 2. — Un triangle est déterminé quand on donne un de ses côtés et la direction des deux autres, en d'autres termes, quand on donne un de ses biangles unilatères, c'est-àdire un de ses côtés et les deux angles adjacents.

188"". Cor. 5. — Deux triangles sont égaux quand ils ont un même biangle unilatère, c'est-à-dire un côté égal adjacent à deux angles égaux chacun à chacun. Par conséquent, ils ont le troisième angle égal et les deux autres côtés égaux chacun à chacun.

Observation. — Dans les géométries usuelles, on admet implicitement qu'yen irigone dont on donne un côte et les amjles adjacents est nécessairement un triangle. C'est passer par-dessus le postulaium d'Euclide sans s'en douter. (Voir 151, cor. 2.)

Cor. 4. — Si les angles donnés sonl égaux, le triangle est à lui-même son symétrique; aux angles égaux sonl opposés des eôiés égaux, et le triangle est isocèle. (Cf. 126, cor. 1.)

Cor. o. — Dans un triangle équilatéral, les trois angles sont égaux. Réciproquement, si les trois angles sont égaux, le triangle est équilatéral. (126, cor. 2.)

Cor. 6. — Dans un triangle scalène, les trois angles sonl inégaux ; et réciproquement, si les trois angles sont inégaux, le triangle est scalone.

Démonstration par l'absurde.

1«0. Théor. — Deux triangles sont égaux quand ils ont leurs trois côtés égaux chacun à chacun.

Ils sont identiques si les côtés sonl disposés dans le même ordre; ils sont symétriques dans le cas contraire.

Déni. — Soient (fig. 51) les deux triangles ABC et A'Ji'C où

Fig. 31.

l'on a les égalités a = a', b = b', c = c', et disposons-les symétriquement autour d'un côté égal, soit CB = C'B', de mat)ière que nous aurons AB = A'B = A'B' et AC = A'C = AT/. Tirons la ligne auxiliaire AA'. Le triangle BAA' est isocèle, puisque ABJ= A'B, et par conséquent les angles BAA' et BA'A sonl égaux. Il en est de même du triangle CAA', où AC ^=^ A'C, cl où par conséquent les angles CA'A et CAA' sonl égaux.

Donc les angles BAC et BA'C sont égaux comme représenlani chacun la somme de deux angles égaux chacun à chacun.

Donc les triangles ABC et A'BC sont égaux comme ayant un angle égal, à savoir A et A', compris entre côtés égaux chacun il chacun, à savoir A'B == AB et A'C = AC.

Donc les deux autres angles sont aussi égaux chacun à ciiacun.

Cor. 1. — Dans deux iriangles égaux, les angles opposés aux côtés égaux sont égaux et, inversement, les côtés opposés aux angles égaux sont égaux.

130. Cor. 2. — Un triangle est déterminé quand on donne ses trois côtés. (Voir 146, cor. i.)

liem. — Nous disons ses trois côtés et non trois portions de droite, car il n'est pas dit qu'avec trois portions de droite on puisse toujours construire un triangle.

Observation. — On remarquera que ce théorème et son corollaire ne correspondent pas exactement pour l'ordre aux théorèmes et corollaires (125, 125""; 128, 128'''0 sur les autres cas d'égalité des triangles. J'aurais certainement pu faire disparaître cette anomalie en intervertissant l'ordre de ces derniers. Peut-être même serait-ce là chose préférable. Si je l'ai laissée subsister, c'est précisément pour attirer l'attention sur elle.

On peut, comme je viens de le dire, transposer les théorèmes et corollaires concernant les deux premiers cas d'égalité, mais non ceux concernant le troisième. C'est singulier. De plus, ee troisième, non seulement nous ne le démontrons pas dirccieinent, mais nous profitons des propriétés du triangle isocèle, et encore, avons-nous recours à une ligne auxiliaire; enfin nous remplaçons un des triangles par son symétrique.

Ces étrangetés m'ont bien tourmenté, et j'en ai cherché et j'en cherche encore la raison. Consisterait-elle en ce que les trois côtés doivent satisfaire à la double condition d'être chacun moins grand que la somme des deux autres et plus grand que leur difTérence? Hésiderait-elle en ceci, que le problème de la construction du triangle au moyen des trois côtés parait au premier abord indéterminé?

En effet, on peut tracer dix triangles avec trois côtés. Sur lu base a, on [)eut en coiislruire quatre : deux (symétriques), eu prenant respectivement B et C comme centres et b et c comme rayons, et deux autres (toujours symétriques) en [trenant c et 6 conmie rayons. Cette opération, on peut la répéier sur les bases

belc, le même triangle venant trois l'ois. Celle raison esl-elle valable? Je n'en sais rien ; elle ne me plait que loul juste. Je voudrais que quelqu'un en trouvât une meilleure ou, ce qui vaudrait encore mieux, démontrât directement le théorème.

Je pourrais répéter ici l'observation dont j'ai fait suivre la proposition 126 sur le triangle isocèle. On a pu voir avec quel soin j'évite les lignes auxiliaires et les théorèmes accessoires ne contenant que des vérités de passage, si je puis ainsi parler. Bien que la démonstration qu'on vient de lire ne soit pas absolument irréprochable, je la croyais mienne. Klle est parfaitement dafis RoucHÉ-CoMBERoussE. Je suis heureux de ne pas l'avoir su lorsque je la cherchais, car rien ne tue l'originalité comme de n'avoir aucun motif de se montrer original.

131. Théor. — Dans tout triangle la somme des trois angles équivaut à deux angles droits.

j)ém. — Soit (fig. 32) le triangle ABC. Si nous prolongeons un côté quelconque AB, et si par le point B nous menons BC

parallèle au côté AC, nous réu- ^ nissons autour de ce point les

trois angles du triangle, à savoir l'angle ABC, l'angle BCA qui est égala l'angle CBC comme alterne interne (119, cor. 1), et enlin **'" *^'"" l'angle CAB qui est égal à l'angle

C'BD comme correspondant (119, cor. 1). Or, la somme des trois angles ABC, CBC et C'BD é(]ui\aul à deux droits (99, cor. 4, et 102, scol.); donc celle des trois angles du triangle équivaut à deux droits. C. Q. F. D.

Cor. 1. — Quand on connaît deux angles d'im triangle, on connaît par cela même le troisième.

Cor. 2. — Il s'ensuit que ce triangle-là serait impossible à construire dont on donnerait un côté et les deux angles adjacents, si la somme de ces deux angles était égale ou su|)érienre à deux droits. (Cf. 141, 142, 143.)

Scolie. — Si l'on avait considéré la droite ABD comme

norme, la direction du côté AC eùl clé fournie par l'angle CAB (on CAD); celle du côté BC par l'angle CBD. La différence de ces deux directions, qui est l'angle BCA, esl par conséquent égale à la différence des angles CBD et CAB, ce qui est exprimé par l'équation

BCA = CBD — CAB, qui devient

CBD = BCA ^ CAB (ou CAD).

Cette équation se traduit comme suit :

13*. Cor. 3 et déf. — Tout angle extérieur d'un triangle est égal à la somme des deux intérieurs qui lui sont opposés.

On appelle angle extérieur tout angle comme CBD compris entre un côté cl le prolongement d'un aulre.

Si aux deux membres de la dernière équation on ajoute l'angle ABC, le premier membre équivaudra à deux angles droits, el le second membre renfermera les trois angles du triangle.

133. Cor. 4. — La valeur d'un angle peut être exprimée en fonction des angles que ses côtés font avec une droite quelconque prise pour norme.

134. Théor. — La somme des angles extérieurs d'un iriaiigle pris dans le même sens équivaut à quatre droits.

Déni. — La sonune de ces angles : B AC -+- A'CB -f- C'BA (lig. 33), est égale à deux fois la somme des angles du triangle, et parlant à quatre angles droits.

i3&. Theor. — Dans un polygone quelconque, la direclion d'un des côlés est égale à la somme algébrique des changemenis de direction effectués par les autres côtés, ces changements étant pris avec leurs signes.

Dém. — Soit (fig. 54-) un polygone ABCDE. Prenons l'un des côtés AE pour norme, c'esl-à-dire comme ayant une direc-

Fic. 3i.

tion =0; il faut démontrer que la somme algébrique des changements de direction marqués par les angles -*- «, — (3, -f- y, — 5, -»- cest égale à 0.

Or, (i = a H- i:; 7= i; -+- >î; (5 = 7 -+- x; x = î (i52; 105).

Faisant la somme a — [3 -f- 7 — (î -4- e, on trouvera 0.

Scolie. — Si la ligne polygonale, au lieu d'être fermée, est restée ouverte, par exemple, entre A et E, il suit de ce théorème que sa direction moyenne ou résultante est celle de la droite qui passe par ses extrémités, conclusion conforme à la manière vulgaire dont nous caractérisons la direction d'un chemin.

Cor. i. — Si l'on fait tourner une droite en l'appliquant successivement sur les côtés d'un polygone, quand elle est revenue à sa position première, elle a tourné de quatre angles droits.

Cor. 2. — Un polygone est déterminé quand on donne tous ses côtés moins un dans leur ordre et les angles compiis.

Il est encore déierminé quand on donne tous ses côlés moins deux dans leur ordre avec leurs angles adjacents.

Il est encore déterminé quand on donne tous ses côtés dans leur ordre et les angles compris sauf deux (cf. 115).

tse. Théor. — Deux triangles sont semblables quand un coin de l'un est semblable à un coin de l'autre.

Dém. — Par majoration on rend ces coins égaux, ainsi (|uc les triangles (117, iSo"")-

Cor. \. — Les triangles semblables ont leurs coins homologues semblables.

187. Cor. 2. — Les triangles semblables ont leurs angles homologues égaux et leurs côtés homologues proportionnels. En effet, la similitude des coins A et A' donne la proportion b : b' = c : c' \ celle des coins B et B', la proportion c : c' =a : n .

Ces deux proportions se fondent en une seule :

138. Théor. — Quel que soit le point dun plan pris [lour centre de majoration, la majoration ne change pas la direction des droites tracées dans le plan (cf. HO).

Dém. — Soit (fig. 33) une droite X et (in point O quelconque, situé dans le plan auquel elle appartient. Prenons deux points ^^"' ^^' A et B sur cette droite, joignons-les au point

O et majorons du point O pris comme centre (Hl) le triangle OAB ainsi formé. Nous obtiendrons un triangle OA'B', semblable au triangle OAB, et où l'angle OA'B' sera égal à l'angle OAB. Par conséquent A'B' sera parallèle à AB (119, corol. 1). C. Q. F. D.

Scolie. — Nous avons vu (jue la somme des trois angles d'un triangle est égale à deux angles droits. Par conséquent, à mesure que l'un des angles diminue, la somme des deux autres augmente, et cette somme a pour limite deux angles droits.

De même, à mesure que deux angles diminuent, la valeur du troisième augmente, et cette valeur a aussi pour limite deux angles droits. Dans le premier cas, deux côtés du triangle tinissenl par devenir parallèles, et par conséquent le triangle s'évanouit et devient un triangle indéfini dans un sens, puisqu'il

n'a pas de troisième sommet. Dans le second cas, deux côtés du triangle forment une ligne droite parallèle au troisième côté, et par conséquent le triangle n'a plus que deux côtés parallèles et aucun sommet, et il s'évanouit de même. En résumé :

Cor. — Deux côtés d'un triangle ne peuvent être parallèles.