Théor. — Deux triangles sont semblables quand ils ont

irs angles égaux chacun à chacun.

Dém. — Plaçons (fig. 56) les triangles donnés ABC et AB'C

de manière à faire coïncider deux angles égaux ainsi que leur sommet A, cl à faire correspondre l'angle C à son égal C, et de même l'angle B' à son égal B. Le côté C'B' sera parallèle à CB(120).

Je dis maintenant que l'on aura : AC ; AC = AB : AB'.

Car si nous prenons sur AB le segment AB" tel que l'on ail : AC : AC = AB : AB", les deux triangles ABC et AB"C' seront semblables en vertu du théorème précédent, et par suite l'angle AC'B" sera égal à l'angle ACB, qui est égal à l'angle AC'B'. Donc le point B" se confondra avec le point B' et l'on aura : AC: AC' = AB: AB. C.Q.F.D.

Cor. 1. — Deux triangles sont semblables quand ils ont deux angles égaux chacun à chacun; car alors ils ont aussi le même troisième angle (151, cor. 1).

Cor. 2. — Deux triangles isocèles sont semblables quand ils ont l'angle du sommet on l'angle de la base égal.

140. Théor. — Deux triangles sont semblables quand ils ont leurs côtés proportionnels.

( 91 ) Soient (fig. 37) deux triangles ABC et A'B'C tels que

AB: A'B' = AC: A'C' = BC: B'C . . . . (1) Sur le côté AB du triangle ABC, prenons AB"=. A'B', et

Fig. 37.

menons la parallèle B"C" à BC. Les deux triangles ABC et AB"C" sont semblables comme ayant leurs angles égaux eliacun à chacun (159); leurs côtés sont donc proportionnels et l'on a