OB < AC -+- CB. C Q. F. D

Corollaire sur les polygones convexes enveloppants et enveloppés '.

148. Théor. — Dans un triangle, à un angle plus grand esl opposé un plus grand côté, et réciproquement, à un angle moins grand un moins grand côté.

Déni. — Soit le triangle ABC (fig. 50) où par supposition l'angle B est plus grand que l'angle A. Je dis que le côté AC sera plus grand que le côté CB. Menons BD de manière à faire l'angle DBA = l'angle A. Le triangle ADB sera isocèle et nous aurons AD = DB. Or, dans le triangle DBC, on a : CB < CD -h DB ; par conséquent : CB < CD -+- DA, et enfin : Fig. 50. CB < AC. C. Q. F. D. \

' Je crois pouvoir à partir d'ici abréger les démonstrations qu'on trouve partout.

• DB est bien une ligne auxiliaire; mais elle s'impose pour mettre en évidence la supposition que l'angle B est plus grand que l'angle A.

( in )

149. Théor. — Inversemeni, dans loui triangle, an plus grand côié est oppose le plus grand angle.

Dém. par l'absurde.— Car si au plus grand côté était opposé un angle A égal à B ou moins grand que B, on aurait B = ou < A ; ce qui est contraire à Thypothèse.

150. Théor. — De toutes les lignes que l'on peut mener d'un point à une droite, la plus courte est la perpendiculaire abaissée de ce point sur la droite.

Dém. — Soit X vme droite (fig. 51), 0 un point d'où l'on a abaissé OA perpendiculaire et OB oblique à la droite; OA est moins grand que OB, en tant qu'opposé à l'angle OBA, moins grand que l'angle OAX, qui est droit (131, cor. 2).

Scolie et déf. — La longueur de la perpendiculaire abaissée d'un point sur une droite est prise pour mesure de la distance de ce point à la droite.

Fig. 5J.

151. Théor. — De deux obliques menées d'un même point à une droite, la plus courte est celle dont le pied est le plus rapproché de la perpendiculaire.

Dém. — L'angle OBC obtus (même fig.) est plus grand que l'angle OCB aigu, et par conséquent, dans le triangle OBC, le côté OB est moins grand que le côté OC.

158. Théor. — Les portions de parallèles comprises entre parallèles sont égales.

Dém. — Soient (fig. 52) deux parallèles X et Y; et soient MA et PQ deux portions de parallèles comprises entre elles; je dis que ces deux portions sont égales. En effet, tirons MQ; les deux triangles ainsi formés M.\Q ei MPQ sont égaux comme ayant un côté éyal MQ adjacent à des angles égaux MQiN et MQP = i\MQ, qui PQ.

Fig. 512.

chacun à chacun, à savoir PMQ sont alternés internes ; donc .\1IV

De même MP = NQ, comme portions de parallèles comprises entre les parallèles U et V. C. Q. F. D.

Cor. 1. — Les perpendiculaires abaissées d'un point quelconque d'une parallèle sur l'autre parallèle sont égales — puisque ces perpendiculaires sont parallèles (143, cor. 3).

Cor. 2. — Deux parallèles sont partout équidistantes.

163. Déf. — On nomme distance de deux parallèles la portion de perpendiculaire commune interceptée entre elles.

154. Théor. — Une ligne équidistaiite d'une droite est une droite parallèle à celle-ci.

Dém. — Soit X (fig. 53) une droite et NQR une ligne équidistante de cette droite. Je dis que cette ligne est une droite qui lui est parallèle. Kn effet, soit MN la dislance, et par le point iV

Fig. 5;i

menons la droite Y parallèle à X. Un [)oini qiielcon(|ue Q de celte droite sera à la même dislance de X, c'est-à-dire qu'on aura QP = NIVI, et par conséquent il appartiendra aussi à la ligne équidislanle; celle-ci est donc une droite. C. Q. F. D.

155. Théor. — Si dans un triangle isocèle, on lire une droite du sommet au milieu de la base, cette droite divise le triangle en deux triangles symétriques, divise l'angle du sommet en deux angles égaux et est perpendiculaire à la base.

Dém. — Soit BAC (Hg 54) un triangle isocèle où AB = AC. Soit D le milieu de la base. Tirons AD. Les deux triangles ADB et ADC

Fi" 51

"' sont égaux comme ayant leurs trois côtés égaux

cbacun à chacun. Par conséquent les deux angles BAD et CAD

soni égaux comme opposés aux côtés égaux BD el DC. Il en est (le même des angles adjacents en D ; ceux-ci sont donc droits.

150. Tfiéor. — Inversement, la perpendiculaire abaissée du sommet d'un triangle isocèle sur la base la divise en deux parties égales.

Déni, par Tabsurde. — Sinon, en joignant le sommet au milieu de la base, on aurait d'un même point A deux perpendiculaires abaissées sur BC.

Cor. 1. — Si d'un même point d'une perpendiculaire à une droite, on mène de part et d'autre deux oblicjues faisant le même angle avec celle-ci, ces deux obliques sont égales.

Cor. 2. — Si de deux points également éloignés de part et d iiulre du pied d'ufie perpendiculaire, on mène des droites à un point de celle-ci, elles délimitent un triangle isocèle el sont égales.

Cor. 5. — Dans un triangle isocèle, un des côtés égaux est plus grand que la moitié de la base, puisque l'on a BC < AB -f- AC, d'où 2BD < 2AB; d'où BD < AB.

Scolie. — De ce corollaire on peut tirer en corollaire une proposition déjà vue, que toute perpendiculaire abaissée d'un point sur une droite est plus courte que toute oblique partant du même point.

157. Déf. — On nomme Iriaitgle rectangle uti triangle dont un des angles est droit.

Le côté opposé à l'angle droit se nomme hypoténuse. Scolie. — Un triangle rectangle p<MJt être isocèle, mais il ne peut être équilatéral.

158. Cor. 1. — Deux triangles rectangles sont égaux, quand ils ont rbypoiénuse égale et un angle aigu égal, car alors ils ont aussi le troisième angle égal.

Cor. "2. — Deux triangles rectangles sont semblables (piand ils ont un angle aigu égal.

( iU )

15». Cor. 5. — - Deux triangles rectangles sont égaux quand ils ont un côté de l'angle droit égal et un angle aigu égal, car alors ce côté est compris entre angles égaux chacun à chacun.

Ja'

Fig. ;i5.

tOO. T/iéor. — Deux triangles rectangles sont égaux quand

ils ont l'hypoténuse égale et un autre côté égal.

Détn. — Soient ((ig. 55) deux triangles rectangles ABCet A'B'C où Ton a les côtés AC = A'C, et les hypoténuses BC = B'C.

Plaçons A'C sur AC ; les angles en A étant égaux comme droits, A'B' prendra la direction "AB. Quanta riiypoiônuse C'B', elle prendra la direction CB; car si elle tombait en CB' ou CB", elle serait plus courte ou plus longue que CB (^151), ce qui est contraire à l'hypothèse.

Scolie. — Tout triangle non rectangle peut se décomposer de Dois laçons en deux triangles rectangles.

Conclusion et résumé.

Je termine ici la tâche que j'ai entreprise. Je la résume en quelques mots.

Dans les trois études publiées par la Revue philosophique Ç\S9ù et 1894), j'ai cherché d'abord à établir que l'espace géométrique ne pouvait avoir d'existence réelle; que l'homogénéité qui le caractérise, c'est-à-dire la propriété de recevoir des ligures semblables, était incompatible avec la réalité; que sinon, l'univers ni aucune de ses parties n'auraient de grandem- absolue; il ne comporterait que des rapports de longueurs et des angles, et ces rapports, ces angles devraient seuls rendre compte de tous les phénomènes, phénomènes physiques, chimiques, biologiques, intellectuels. Que seraient la science, la vérité, l'erreur, le devoir, la vertu, le vice dans une pareille conception? La résultante d'un concours de cubes et de tétraèdres.

J'ai fait voir ensuite que les géomètres qui ont voulu dépouiller l'espace géométrique de son caractère homogène, en lui substituant l'isogénéité, n'ont pas renversé In géométrie euclidienne, mais en ont tiré des conséquences généralisées ensuite au moyen d'un artifice (le langage. Dans les espaces méleuclidiens, la forme des figures dépend do leurs dimensions, et les nouveaux géomètres n'ont fait qu'étendre aux espaces qu'ils oîit conçus, les propriétés de certaines surfaces euclidiennes, la sphère et la pseudosphère. De cette façon, leurs géométrics ne sont ni plus vraies ni plus fausses que la géométrie traditionnelle; elles trouvent dans cette dernière leur garantie, et au fond, c'est elle qui leur sert de fondement.

Enfin, j'ai montré comment avait pu germer dans la tète des géomètres la conception de géoméiries auiies que celle d'Euclide. C'est que celle-ci s'appuie sur des postulats, postulats de la droite, du plan, des parallèles, ce dernier célèbre surtout par la stérilité des efforts faits pendant plus de deux mille ans pour le démontrer. Ils ont alors imaginé de se passer de ce postulat, et de créer des espaces où il n'y a pas de parallèles, et, par la même occasion, où il n'y a pas de plans, pas de droites. Ils conservent bien les noms de ces choses, mais en les détournant du sens qu'on leur donne d'habitude Fis ont pensé que par là ils fondaient une science exempte de reproche, et qu'en même temps ils dissuadaient à tout jamais les chercheurs de poursuivre la solution des postulats. En quoi ils se sont trompés. Certes, dans leurs géométries, il n'est plus question du postuintum d'Euclide sur les parallèles, puisqu'elles écartent les vraies parallèles auxquelles il s'applique; seulement, quant aux postulats de la droite et du plan, moins célèbres sans doute, mais tout aussi importants, elles les adoptent clandestinement — sous d'autres habits — voilà tout.

Ces éludes appelaient un complément naturel et nécessaire. Les métagéomètres ont avancé qu'il y avait trois géoméiries possibles: les géoméiries aparallèle, |)olyparallèle, monoparallèle ou encore les géométries où les trois angles d'un triangle font plus que deux droits, moins que ilciw droits, exaclenieni deux

droits ; ils les melteni toutes trois sur le même pied, vu que, disent-ils, elles postulent chacune des propo^ilions du même ordre el équiviilcntes; le poslulamni d'Euclide n'a donc en soi rien de plus rationnel, de plus évident, de plus a priori que les postulais contraires. Cette assertion ne pouvait être réfutée victorieusement que d'une seule manière. Il fallait faire voir que le postulat d'Kuclide était démontrable, et mieux encore, qu'il était une de ces propositions (jui, en soi, n'a pas un caractère spécial, la différenciant des théorèmes du même ordre.

C'est ce qui a été fait. I.e présent travail a eu pour but et pour résultat de réédilîer sur une base rationnelle — ou, si l'on aime mieux, plus rationnelle — la itéométrie d'Euclidc. Cette base rationnelle, c'est la proposition fondamentale qui postule le caractère hypothétique de l'espace géométrique, l'homogénéité; c'est l'affirmation que, dans col espace, la forme des figures est indépendante de leur grandeur. L'espace ainsi délini, privé d'une dimension, devient le plan ; privé de deux, la droite. La plus simple des figures que comporte la droite est la portion de droite cl, par conséquent, toutes les portions de droiies sont semblables — première proposition sur la similitude. Le plan admet des figures planes et, par conséquent, des figures reclilignes semblables, d'où il est facile de passer ensuite aux figures curvilignes. En dernier lieu, de même que la géométrie de la droite conduit à la géométrie du plan, de même celle-ci conduit à la géométrie spatiale.

La géométrie euclidienne ainsi afîermie, les géométries méteuclidiennes ne sont pas ébranlées, au contraire. Il n'y a que certaines de leurs prétentions qui sont rabattues.